一、
1．下列积分正确的是( )
[答案] A
A.214 B.54
C.338 D.218
[答案] A
[解析] 2－2x2＋1x4dx＝2－2x2dx＋2－21x4dx
＝13x32－2＋－13x－32－2
＝13(x3－x－3)2－2
＝138－18－13－8＋18＝214.
故应选A.
3.1－1xdx等于( )
A.1－1xdx B.1－1dx
C.0－1(－x)dx＋01xdx D.0－1xdx＋01(－x)dx
[答案] C
[解析] ∵x＝x (x≥0)－x (x<0)
∴1－1xdx＝0－1xdx＋01xdx
＝0－1(－x)dx＋01xdx，故应选C.
4．设f(x)＝x2 (0≤x<1)2－x (1≤x≤2)，则02f(x)dx等于( )
A.34 B.45
C.56 D．不存在
[答案] C
[解析] 02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx
取F1(x)＝13x3，F2(x)＝2x－12x2，
则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x
∴02f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)
＝13－0＋2×2－12×22－2×1－12×12＝56.故应选C.
5.abf′(3x)dx＝( )
A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3a)
C.13[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)]
[答案] C
[解析] ∵13f(3x)′＝f′(3x)
∴取F(x)＝13f(3x)，则
abf′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝13[f(3b)－f(3a)]．故应选C.
6.03x2－4dx＝( )
A.213 B.223
C.233 D.253
[答案] C
[解析] 03x2－4dx＝02(4－x2)dx＋23(x2－4)dx
＝4x－13x320＋13x3－4x32＝233.
A．－32 B．－12
C.12 D.32
[答案] D
[解析] ∵1－2sin2θ2＝cosθ
8．函数F(x)＝0xcostdt的导数是( )
A．cosx B．sinx
C．－cosx D．－sinx
[答案] A
[解析] F(x)＝0xcostdt＝sintx0＝sinx－sin0＝sinx.
所以F′(x)＝cosx，故应选A.
9．若0k(2x－3x2)dx＝0，则k＝( )
A．0 B．1
C．0或1 D．以上都不对
[答案] C
[解析] 0k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)k0＝k2－k3＝0，
∴k＝0或1.
10．函数F(x)＝0xt(t－4)dt在[－1,5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0和最小值－323
C．有最小值－323，无最大值
D．既无最大值也无最小值
[答案] B
[解析] F(x)＝0x(t2－4t)dt＝13t3－2t2x0＝13x3－2x2(－1≤x≤5)．
F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：
x(－1,0)0(0,4)4(4,5)
F′(x)＋0－0＋
F(x) ?极大值 极小值 ?
可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－323.
又F(－1)＝－73，F(5)＝－253
∴最大值为0，最小值为－323.
二、题
11．计算定积分：
①1－1x2dx＝________
②233x－2x2dx＝________
③02x2－1dx＝________
④0－π2sinxdx＝________
[答案] 23；436；2；1
[解析] ①1－1x2dx＝13x31－1＝23.
②233x－2x2dx＝32x2＋2x32＝436.
③02x2－1dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx
＝x－13x310＋13x3－x21＝2.
[答案] 1＋π2
13．(2010?陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点(x，y)，则点取自阴影部分的概率为________．
[答案] 13
[解析] 长方形的面积为S1＝3，S阴＝013x2dx＝x310＝1，则P＝S1S阴＝13.
14．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
[答案] －1或13
[解析] 由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，
∴1－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，
∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.
即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.
三、解答题
15．计算下列定积分：
(1)052xdx；(2)01(x2－2x)dx；
(3)02(4－2x)(4－x2)dx；(4)12x2＋2x－3xdx.
[解析] (1)052xdx＝x250＝25－0＝25.
(2)01(x2－2x)dx＝01x2dx－012xdx
＝13x310－x210＝13－1＝－23.
(3)02(4－2x)(4－x2)dx＝02(16－8x－4x2＋2x3)dx
＝16x－4x2－43x3＋12x420
＝32－16－323＋8＝403.
(4)12x2＋2x－3xdx＝12x＋2－3xdx
＝12x2＋2x－3lnx21＝72－3ln2.
16．计算下列定积分：
[解析] (1)取F(x)＝12sin2x，则F′(x)＝cos2x
＝121－32＝14(2－3)．
(2)取F(x)＝x22＋lnx＋2x，则
F′(x)＝x＋1x＋2.
∴23x＋1x2dx＝23x＋1x＋2dx
＝F(3)－F(2)
＝92＋ln3＋6－12×4＋ln2＋4
＝92＋ln32.
(3)取F(x)＝32x2－cosx，则F′(x)＝3x＋sinx
17．计算下列定积分：
(1)0－4x＋2dx；
(2)已知f(x)＝ ，求3－1f(x)dx的值．
[解析] (1)∵f(x)＝x＋2＝
∴0－4x＋2dx＝－－4－2(x＋2)dx＋0－2(x＋2)dx
＝－12x2＋2x－2－4＋12x2＋2x0－2
＝2＋2＝4.
(2)∵f(x)＝
∴3－1f(x)dx＝0－1f(x)dx＋01f(x)dx＋12f(x)dx＋23f(x)dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx
＝x－x2210＋x22－x21
＝12＋12＝1.
18．(1)已知f(a)＝01(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；
(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
[解析] (1)取F(x)＝23ax3－12a2x2
则F′(x)＝2ax2－a2x
∴f(a)＝01(2ax2－a2x)dx
＝F(1)－F(0)＝23a－12a2
＝－12a－232＋29
∴当a＝23时，f(a)有最大值29.
(2)∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①
又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②
而01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx
取F(x)＝13ax3＋12bx2＋cx
则F′(x)＝ax2＋bx＋c
∴01f(x)dx＝F(1)－F(0)＝13a＋12b＋c＝－2③
解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.
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