2015-2104学年度第一学期期中考试数学一、填空题：本大题共14题，每题5分共70分。请把答案填写在答题卷相应的位置上. 1．抛物线的焦点为 ．2．两个平面可以将空间分成_____________个部分．3．命题“，”的否定是 ．4．已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的______________条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空.）5．设互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题：② ③ ④若； 其中真命题的序号为 ． 与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程是 ．7下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题②“若则”的否命题③“正三角形的三个角均为60°”逆否命题.其中真命题的序号是 ．8已知圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积是 ．9已知命题命题则命题中真命题有_____________个10．过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，以 为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于 11．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；②过圆上点作水平的垂线，垂足为点,若则点的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线有相同的焦点.其中真命题的序号为 ．12．已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________ ．13已知椭圆和圆若上存在点使得过点引圆的两条切线切点分别为，满足则椭圆的离心率的取值范围是 ．14．已知是椭圆和双曲线的公共顶点。是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于、），且满足，其中，设直线、、、的斜率 分别记为，则 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15已知命题：实数满足方程（）表示双曲线；命题：实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆，且是的必要不充分条件，求的取值范围。16．（本小题满分14分）如图，在六面体中，，．求证：（1） （2）17．如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程；18如图：的长方形所在平面与正所在平面互相垂直，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．19如图椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（1）若点的坐标为，求的值；（2）若椭圆上存在点，使得，求的．20．已知椭圆：（）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，，点是右准线上任意一点，过作直线的垂线交椭圆于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）点的纵坐标为3，过作动直线与椭圆交于两个不同点，在线段上取点，满足，试证明点恒在一定直线上．高二、解答题17.解：（1）依题意，得，，∴；故椭圆的方程为 ． 18.证明:(1)连交于,连则为中点,因为为中点,所以, 又,,则. (2)当BN=时,平面. 证明如下:正中,Q为的中点故由,又,则又因为长方形中由相似三角形得,则 又 所以,平面. 19. 解：（1）依题意，是线段的中点，因为，，所以 点的坐标为．在椭圆上，所以 ， 解得 ． （2）解：设，则 ，由题意知．① 因为 是线段的中点，所以 ．因为 ，所以 ．所以 的最大值是. 20．解：（1）由题意可得，解得，，所以椭圆：． （2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设，因为PF2⊥F2Q，所以，所以又因为且代入化简得．即直线与直线的斜率之积是定值． （3）设过的直线与椭圆交于两个不同点，点，则，．设，则，∴，整理得，，∴从而，由于，，∴，所以点恒在直线上． ！第10页 共10页学优高考网！！江苏省扬大附中2015-2016学年高二上学期期中数学试题
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