1．设变量x、y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，则目标函数z＝5x＋y的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：可行域如下图，
由x＋2y＝1，x＋y＝1解得最优解为A(1,0)．
∴zmax＝5，故选D.
答案：D
2．设集合A＝{(x，y)x，y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
解析：∵x，y,1－x－y是三角形的三边长，
∴A是由不等式组x＋y>12，x<12，y<12确定的．
不等式x＋y>12表示直线x＋y－12＝0的上方部分点的集合，x<12表示直线x－12＝0的左侧部分点的集合，y<12表示直线y－12＝0的下侧部分点的集合，故选A.
答案：A
3．在△ABC中，三顶点A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大值为( )
A．1 B．－3
C．－1 D．3
解析：点P在△ABC内部及其边界运动，可行域如下图所示．在阴影部分交点C(1,0)处，目标函数z＝x－y取得最大值，最大值为1，故选A.
答案：A
4．给出下列四个命题：
①对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同；
②不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集；
③线性约束条件只能用一次不等式来表示，而不能用一次方程表示；
④在线性规划问题中，把使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫作该问题的最优解．
其中正确的命题是( )
A．①③④ B．①②④
C．①②③ D．②③④
解析：根据线性规划有关知识可知①②④正确，故选B.
答案：B
5．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在的直线的方程分别是x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是( )
A．95个 B．91个
C．88个 D．75个
解析：由题可知，可行域如下图所示，在△AOB内部和边上整数点的总数是：11＋10＋9＋9＋8＋7＋7＋6＋5＋5＋4＋3＋3＋2＋1＋1＝91(个)，故选B.
答案：B
6．已知变量x、y满足约束条件x－y＋2≤0，x≥1，x＋y－7≤0.则yx的取值范围是( )
A．[95，6]
B．(－∞，95]∪[6，＋∞)
C．(－∞，3)∪[6，＋∞)
D．[3,6]
解析：画出可行域，由yx的几何意义知，最优解为A(52，92)，B(1,6)，而kOA＝95，kOB＝6，∴yx的范围为[95，6]，故选A.
答案：A
7．(2009?山东卷)设x，y满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为( )
A.256 B.83
C.113 D．4
解析：点(x，y)所满足的可行域如图中阴影部分所示，根据目标函数所表示的直线的斜率是负值，可知目标函数只有在点A处取得最大值，故实数a，b满足4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，故2a＋3b＝16(2a＋3b)(2a＋3b)＝16(13＋6ba＋6ab)≥16(13＋12)＝256，当且仅当a＝b时取等号．
答案：A
8．如右图所示，目标函数z＝mx－y的可行域为四边形OACD(含边界)，若(1，85)是唯一的最优解，则实数m的范围是( )
A．[－25，＋∞)∪(－∞，－85]
B．(－∞，－25)
C．(－85，－25)
D．[－85，＋∞)
解析：令z＝mx－y＝0，则目标函数y＝mx的斜率为m.如图所示，kAC＝851－2＝－85，kCD＝2－850－1＝－25，由题意知点(1，85)是唯一最优解，所以推得实数m的范围是－85
9．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)(x，y)∈A}的面积为( )
A．2 B．1
C.12 D.14
解析：令x＋y＝s，x－y＝t，由题意可得平面区域B＝{(s，t)s≤1，s＋t≥0，s－t≥0}，平面区域如图所示，S△AOB＝12×2×1＝1，故选B.
答案：B
10．已知函数f(x)＝x2－2x，则满足约束条件f?x?＋f?y?≤0，x－y≥0，x＋y≥2的点(x，y)所形成的区域的面积为( )
A．4π B．2π
C.π2 D．π
解析：不等式组表示的平面区域如下图所示，
阴影面积是圆(x－1)2＋(y－1)2＝2面积的14，即π2，故选C.
答案：C
二、题
11．设变量x，y满足约束条件x－y＋3≥0，x＋y≥0，－2≤x≤3，则目标函数2x＋y的最小值为________
解析：z＝2x＋y，画出可行域如下图．
最优解为M(－32，32)，zmin＝－32，故填－32.
答案：－32
12．设变量x，y满足条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3.则目标函数z＝3x＋5y的最大值是________，最小值是________．
解析：不等式组的可行域为下图中阴影部分，
作出直线3x＋5y＝0.
解y＝x＋1，x－5y＝3得(－2，－1)，所以zmin＝－11；
解y＝x＋1，5x＋3y＝15得(32，52)，所以zmax＝17.
答案：17；－11
13．可行域D满足x－y＋1≥0，x＋y－4≤0，x≥0，y≥0.可行域E满足0≤x≤4，0≤y≤52，则D、E对应的点集间的关系是________．
解析：根据题意可得D、E的可行域如下图所示．
由x－y＋1＝0，x＋y－4＝0求得P(32，52)，∴D?E.
答案：D?E
14．设D是不等式组x＋2y≤10，2x＋y≥3，0≤x≤4，y≥1表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是________．
解析：画出x＋2y≤10，2x＋y≥3，0≤x≤4，y≥1表示的平面区域如下图所示，
则D内的点到直线x＋y＝10的最大距离为
d＝1＋1－102＝42.
答案：42
三、解答题
15．已知x，y满足3x＋8y＋15≥0，5x＋3y－6≤0，2x－5y＋10≥0，求z＝x－y的取值范围．
解析：先画出约束条件的可行域，如下图，
由3x＋8y＋15＝0，5x＋3y－6＝0得B(3，－3)，
由3x＋8y＋15＝0，2x－5y＋10＝0得A(－5,0)．
当z为常数时，－z表示直线z＝x－y在y轴上的截距，如下图所示，当点(x，y)位于A点时，－z取最大值，∴zmin＝－5－0＝－5；
当点(x，y)位于B点时，－z取最小值，
∴zmax＝3－(－3)＝6.
综上所述，目标函数z的取值范围是[－5,6]．
16．求不等式组3x－2y－2>0，x＋4y＋4>0，2x＋y－6<0的整数解．
解析：不等式组的可行域如下图：
由x＋4y＋4＝0，3x－2y－2＝0，解得A(0，－1)；
由x＋4y＋4＝0，2x＋y－6＝0，解得B(4，－2)；
由3x－2y－2＝0，2x＋y－6＝0，解得C(2,2)．
∴整数解为(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)．
17．已知x，y满足条件4x＋2y－7≥0，x－2y＋2≥0，3x－y－4≤0，试求z＝x2＋y2＋2x＋4y的取值范围．
解析：如图作出约束条件所表示的平面区域△ABC，易求A(2,2)，B(1，32)，C(32，12)，因为x2＋y2＋2x＋4y＝?x＋1?2＋?y＋2?2－5，又因为方程Z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示的曲线为以点D(－1，－2)为圆心，半径为Z的圆，所以观察图知，当圆过A点时，Z取得最大值5.过D作DE垂直直线BC于E，易知kDE＝12，从而知直线DE的方程为x－2y－3＝0，由x－2y－3＝0，4x＋2y－7＝0?x＝2，y＝－12，即点E的坐标为(2，－12)，显然点E在线段BC的延长线上，从而知当圆过点C时，Z取得最小值522，故z＝x2＋y2＋2x＋4y的取值范围为[302，25]．
18．实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：
(1)点(a，b)对应的区域的面积；
(2)b－2a－1的取值范围；
(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．
解析：方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组
f?0?>0，f?1?<0，f?2?>0?b>0，a＋2b＋1<0，a＋b＋2>0.由a＋2b＋1＝0，a＋b＋2＝0
解得A(－3,1)．
由a＋b＋2＝0，b＝0.解得B(－2,0)．
由a＋2b＋1＝0，b＝0.解得C(－1,0)．
∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．
(1)△ABC的面积为S△ABC＝12×BC×h＝12(h为A到Oa轴的距离)．
(2)b－2a－1的几何意义是点(a，b)和点D(1,2)连线的斜率．
∵kAD＝2－11＋3＝14，kCD＝2－01＋1＝1，由图可知kAD
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