一、
1．设a、b∈R，已知命题p：a＝b，命题q：(a＋b2)2≤a2＋b22，则p是q成立的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a＝b?(a＋b2)2≤a2＋b22，反之，则不然，故选B.
答案：B
2．下列函数中，最小值是4的是(　　)
A．y＝x＋4x　　　　　　　B．y＝sinx＋4sinx
C．y＝2x＋2－x D．y＝x2＋1x2＋1＋3
解析：只有D中，y＝x2＋1x2＋1＋3＝(x2＋1)＋1x2＋1＋2≥2＋2＝4，当且仅当x2＋1＝1，即x＝0时，等号成立，故选D.
答案：D
3．设x、y为正实数且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值为(　　)
A．40 B．10
C．4 D．2
解析：∵40＝x＋4y≥4xy，∴xy≤10，即xy≤100，当且仅当x＝4y＝20，即x＝20，y＝5时，等号成立，∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.
答案：D
4．给出下面四个推导过程：
①∵a，b∈R＋，∴ba＋ab≥2 ba?ab＝2；
②∵x，y∈R＋，∴lgx＋lgy≥2lgx?lgy；
③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥2 4a?a＝4；
④∵x，y∈R，xy<0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2 ?－xy??－yx?＝－2.
其中正确的推导为(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：①由于a，b∈R＋，∴ba，ab∈R＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；
②虽然x，y∈R＋，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lgx或lgy是负数，故②的推导过程是错误的；
③由a∈R，不符合基本不等式的条件，故
4a＋a≥2 4a?a＝4是错误的．
④由xy<0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，(－xy)、(－yx)均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确，故选D.
答案：D
5．已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝(12)x2－2(x<0)，则m，n之间的关系是(　　)
A．m>n B．mC．m＝n D．m≤n
解析：m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥
2 ?a－2??1a－2＋2＝4，n＝(12)x2－2<(12)－2＝4，故选A.
答案：A
6．若a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是(　　)
A．18 B．6
C．23 D．243
解析：∵3a＋3b≥23a?3b＝23a＋b＝6，故选B.
答案：B
7．若直线2ax－by＋2＝0(a，b>0)过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则ab的最大值是(　　)
A.14 B.12
C．1 D．2
解析：圆心为(－1,2)，
∴－2a－2b＋2＝0，a＋b＝1，
∴ab≤a＋b2＝12，故选A.
答案：A
8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：求得函数式为y＝－(x－6)2＋11，
则营运的年平均利润
yx＝－?x－6?2＋11x
＝12－(x＋25x)≤12－225＝2，
此时x＝25x，解得x＝5，故选C.
答案：C
9．已知f(x)＝x2＋px＋q(p>0)，当x1>0，x2>0时，下列关系成立的是(　　)
A．f(x1x2)≤f(x1＋x22)≤12[f(x1)＋f(x2)]
B．f(x1x2)≤12[f(x1)＋f(x2)]≤f(x1＋x22)
C.12[f(x1)＋f(x2)]≤f(x1x2)≤f(x1＋x22)
D．f(x1＋x22)≤f(x1x2)≤12[f(x1)＋f(x2)]
解析：∵p>0，∴f(x)＝x2＋px＋q的对称轴在y轴的左侧，画出f(x)的草图．不妨设x1答案：A
10．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v20)2 km，那么这批物质全部安全到达灾区，最少需要(　　)
A．5 h B．10 h
C．15 h D．20 h
解析：车队总长≥25?(v20)2＝25v2400 km，故最后一辆车到达灾区的时间最少需要
t＝25v2400＋400v＝400v＋25v400≥2 400v?25v400＝10 h，故选B.
答案：B
二、题
11．设0解析：∵0当且仅当3x＝8－3x，即x＝43∈(0,2)时，等号成立．
答案：43
12．已知5x＋3y＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．
解析：∵5x＋3y≥215xy，∴2≥215xy.
∴xy≥15，
当且仅当5x＝3y时取“＝”号．
又5x＋3y＝2(x>0，y>0)，得x＝5，y＝3.
因此xy的最小值为15.
答案：15
13．若x>0，则x＋432x2取得最小值时，x的取值是________．
解析：x＋432x2＝x2＋x2＋432x2≥33x2?x2?432x2＝934，
当且仅当x2＝x2＝432x2时，即x＝634，取等号．
答案：634
14．若x，y∈R＋，且x＋y＝1，则x2y的最大值为________．
解析：x2y＝12×(x?x?2y)
≤12×(x＋x＋2y3)3＝12×(23)3＝427.
答案：427
三、解答题
15．已知a>1,0证明：因为a>1,00，－logba>0，从而－logab＋(－logba)≥2?－logba??－logab?＝2，即logab＋logba≤－2.
16．当x>1时，求y＝3x＋4x－1＋1的最小值．
解析：由x>1得x－1>0，
则y＝3x＋4x－1＋1＝3(x－1)＋4x－1＋4≥43＋4，
当且仅当3(x－1)＝4x－1，即x＝1＋233时，取等号．
17．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝3，m2＋n2＝1，若a≥mx＋ny恒成立，求a的取值范围．
解析：解法1：mx＋ny＝3(m?x3＋n?y3)
≤3[12(m2＋x23)＋12(n2＋y23)]
＝32(m2＋n2＋x2＋y23)
＝3.
当且仅当x＝3m，y＝3n时取等号．
∴a≥3.
解法2：设p＝(x，y)，q＝(m，n)
则p＝3，q＝1
∵p?q≤pq
∴mx＋ny≤3
当且仅当p＝3q，即x＝3m，
y＝3n时取等号．
∴a≥ 3.
18．巨幅壁画最高点离地面14 m，最低点离地面2 m，若从离地面1.5 m处观赏此画，问离墙多远时，视角最大．
解析：如图，设AD＝14 m，BD＝2 m，OD＝1.5 m．如图建立坐标系，则A(0,12.5)，B(0,0.5)．
设C(x,0)，则
kAC＝12.5－00－x＝－12.5x，kBC＝0.5－00－x＝－0.5x，
tan∠ACB＝－0.5x＋12.5x1＋0.5x?12.5x＝12x＋6.25x.
∵x>0，∴x＋6.25x≥2x?6.25x＝5.
∴tan∠ACB≤125，当且仅当x＝6.25x，
即x＝2.5时，tan∠ACB取得最大值为125.
∵∠ACB为锐角，正切函数在(0，π2)上递增，
∴当x＝2.5时，∠ACB最大．


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