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同步检测训练
一、
1．不在3x＋2y>3表示的平面区域内的点是(　　)
A．(0,0)　　　　　　　　　　B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
解析：∵3×0＋2×0>3不成立，∴选A.
答案：A
2．不等式x＋2y－6<0表示的区域在直线x＋2y－6＝0的(　　)
A．右上方 B．左上方
C．右下方 D．左下方
解析：直线x＋2y－6＝0过点(6,0)和点(0,3)，又0＋2×0－6<0，故选D.
答案：D
3．不等式组y>xx＋y≤1y≤3表示的区域为D，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则(　　)
A．P1?D，P2?D B．P1?D，P2∈D
C．P1∈D，P2?D D．P1∈D，P2∈D
解析：∵0<－2不成立，∴P1?D，又∵0>0不成立，
∴P2?D，故选A.
答案：A
4．右图中的阴影部分表示的区域可用不等式组表示为(　　)
A.y≤2，2x＋y－4≥0
B.0≤y≤2，x≤0，2x＋y－4≥0
C.0≤y≤2，x≤0，2x－y＋4≥0
D.0≤y≤2，2x－y＋4≤0，x≤0
解析：由图知0≤y≤2x≤02x－y＋4≥0，故选C.
答案：C
5．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域是(　　)
解析：原不等式等价于：
x－2y＋1>0x＋y－3<0或x－2y＋1<0，x＋y－3>0.，故选C.
答案：C
6．如下图所示，不等式x(y－x－1)>0表示的平面区域是(　　)
解析：由x(y－x－1)>0
?x>0，y－x－1>0或x<0，y－x－1<0.
则表示y轴与直线y－x－1＝0的对顶区域，故选B.
答案：B
7．不等式3x＋2y＋c≤8表示的平面区域总包含点(0,1)，(1,1)，则c的取值范围是(　　)
A．(－∞，－8]∪[3，＋∞) B．[－10,3]
C．(－∞，－13)∪[8，＋∞) D．[－8,3]
解析：由不等式3x＋2y＋c≤8表示的平面区域总包含点(0,1)，(1,1)得2＋c≤8，5＋c≤8，解得－10≤c≤3，故选B.
答案：B
8．不等式组?x－2?2＋?y＋2?2≤4，y－k?x－2?＋2≤0表示的平面区域面积是(　　)
A．2π B．4π
C．2π－33 D．与k值有关
解析：不等式(x－2)2＋(y＋2)2≤4表示的平面区域是圆(x－2)2＋(y＋2)2＝4的边界及内部点的集合，不等式y－k(x－2)＋2≤0表示的平面区域是过定点(2，－2)的直线及y－k(x－2)＋2＝0的下方点的集合，其相交部分是一个半圆，所以S＝12×π×22＝2π，故选A.
答案：A
9．若二次函数y＝ax2＋bx＋a与x轴无交点，则点(a，b)在aOb平面上的区域(不含边界)为(　　)
解析：若a>0时，二次函数图像与x轴无交点，
∴Δ＝b2－4a2<0，
∴b＋2a>0，b－2a<0.
若a<0时二次函数与x轴无交点，
∴Δ＝b2－4a2<0，
∴b－2a>0，b＋2a<0.故选D.
答案：D
10．如果点P在平面区域2x－y＋2≥0x＋y－2≤02y－1≥0上，Q点在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么PQ的最小值为(　　)
A.32 B.45－1
C．2－2 D.2－1
解析：如下图所示，点P取点(0，12)，Q取点(0，－1)时，PQ有最小值为32.故选A.
答案：A
二、题
11．原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
解析：设F(x，y)＝x＋y－a，
由题意知F(0,0)?F(1,1)<0，
即－a(2－a)<0，
∴0答案：(0,2)
12．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是________．
解析：由题意得，点P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，∴2×1－2b＋1>02×?－1?＋2b＋1>0
解得：12答案：(12，32)
13．不等式组x－y＋2≤0，x≥0，3x＋y－6≤0表示的平面区域的面积是________．
解析：做出相应的平面区域如下图阴影部分：
S△ABC＝12?AB?xc＝12?4?1＝2.
答案：2
14．以原点为圆心的圆全部在区域x－3y＋6≥0，x－y＋2≥0的内部，则圆的面积的最大值为________．
解析：根据条件画出平面区域如下图中阴影所示，要使以原点为圆心的圆的面积最大，则圆与直线x－y＋2＝0相切．此时半径r＝0－0＋22＝2，此时圆面积为S＝π(2)2＝2π.
答案：2π
三、解答题
15．画出不等式组2x－y＋2≥0，x＋2y<6，x≥0，y≥0表示的平面区域．
解析：不等式2x－y＋2≥0表示直线2x－y＋2＝0及右下方的点的集合；不等式x＋2y<6表示直线x＋2y－6＝0左下方的点的集合；不等式x≥0表示y轴及y轴右方的点的集合；y≥0表示x轴及x轴上方的点的集合．所以不等式组所表示的平面区域为如下图所示的阴影部分．
16．画出不等式组y－2x≤0，x＋2y＋3>0，5x＋3y－5<0所表示的平面区域，并求平面区域内有多少个整点．
解析：不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0的右下方区域(含边界)，x＋2y＋3>0表示直线x＋2y＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x＋3y－5<0表示直线5x＋3y－5＝0左下方区域(不含边界)，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，如下图所示的△ABC区域．
可求得A(－35，－65)，B(511，1011)，C(197，－207)，所以△ABC区域内的点(x，y)满足－35∵x，y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x，y∈Z.
经检验，共有四个整点(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．
17．设满足y≥x－a的点(x，y)的集合为A，满足y≤－x＋b的点(x，y)的集合为B，其中a，b为正数，且A∩B≠?.
(1)a，b之间有什么关系？
(2)求A∩B表示的图形的面积．
解析：(1)作函数y＝x－a及y＝－x＋b的图像，画出y≥x－a及y≤－x＋b表示的区域，
如下图，可知，若A∩B≠?，则b≥a.
(2)当b>a时，A∩B表示一矩形区域，各边所在直线方程分别为x－y－a＝0，x－y＋b＝0，x＋y－a＝0，x＋y－b＝0.
矩形两边长分别为d1＝a＋b2，d2＝a－b2.
∴S矩形＝d1?d2＝a＋b2?a－b2＝12(b2－a2)，
∴所求面积S＝12(b2－a2)．
18．不等式组y≤2，x≤y≤x＋1表示的几何图形的面积是多少？
解析：原不等式组可化为
y≤2，x≥0，x≤y≤x＋1，①或x<0，y≤2，－x≤y≤－x＋1.②
故原不等式组的图像由不等式组①和②表示的两图像组合而成，如图，易知矩形OABC面积为2×2＝4，故△OAB的面积为2，其内部等腰梯形面积为2－12×1×1＝32，所以所求不等式组所表示的图形面积为2×32＝3.


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