“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考2013-2014学年下学期第一次月考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限（ ） 3. 在区间内不是增函数的是（　　）A. B. C. D. 4. 函数的图上一点（ ）A． B． C． D．5．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（ ）A．B．C．D．.等于（ ）A． B．2C．D．7．已知复数且，则的最小值是（ ）A． B． C． D．8．函数的部分图像如图所示，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 9. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如，在平行四边形中，有，那么在图（2）的平行六面体中有等于( )10.对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：①任意三次函数都关于点对称：②存在三次函数, 若有实数解，则点为函数的对称中心；③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；④若函数，则: 其中所有正确结论的序号是( )．A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④是虚数单位，则=______▲▲▲_______.12. 由直线，曲线及轴所围图形的面积为有极大值和极小值，则实数的取值范围是▲ 14. 若上是减函数，则的最大值是 ▲▲▲ 15. 设表示不超过的最大整数，如．我们发现：；；；．．．．．．．通过合情推理，写出一般性的结论 ▲▲▲ (用含的式子表示)三、解答题:本大题共小题,共分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.，已知曲线在点处的切线方程是．求；函数上的．设数列满足．（Ⅰ）求（II）由I）猜想的一个通项公式，证明你的结论；．,证明：，并利用上述结论求的最小值(其中．19. (本题满分13分)已知函数,为自然对数的底数.（I）求函数极值；有两个不同的实数根，试求实数的取值范围；20．处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的处，乙厂到河岸的垂足与相距50千米，两厂要在此岸边之间合建一个供水站，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，若千米，设总的水管费用为元，如图所示，（I）写出关于的函数表达式；（II）问供水站建在岸边何处才能使水管费用最省？ 21. (本小题满分14分) 已知函数（）（I）讨论函数的单调性；（II）若函数在处取得极值，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（III）当时，证明不等式 .“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考2013-2014学年下学期第一次月考高二数学（理科）试题参考答案题号答案CBDABABCCA二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分) 11.1+3i 12. 2ln2 13. 或 1４. -1 15． 三、解答题:本大题共小题,共分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.. …………………………3分，令，得或；令，得的递增区间为，的递减区间为 ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知列表得－11＋0－0-1递增极大递减-1由表得当时，又，17．，得……………………………2分，得，……………………………4分，得 ……………………………………………………6分…………………………………………………7分时， ，猜想成立；………………………………………………8分时，猜想成立，即，…………………9分时，所以当时，猜想也成立………………………………………12分都有猜想成立…………………………13分． ………………………………………4分 ……………………………………………………分 gkstk只要证………………………2分 ……………………………………………………………4分（显然成立）gkstk故原不等式得证………………………………………………………………………7分由不等式成立知，…………………………10分即最小值为25，当且仅当时等号成立。………………………………………1分………………………2分，解得或，列表如下………………………4分－40＋0－0＋递增极大递减极小递增由表可得当时，函数有极大值；当时，函数有极小值；…………………8分，；，大致图像为如图（大致即可）gkstk问题“方程有两个不同的实数根”转化为函数的图像与的图像有两个不同的交点， ………………………………10分的取值范围为. …………………………………13分．，BD=40,AC=50－,∴BC=又总的水管费用为y元，依题意有：=3(50－x)+5 …………………………………6分+,令y′=0,解得=30 …………………………………8分在(0,30)单调递减，在(30,50)单调递增上，…………………………………11分=30(km)处取得最小值，此时AC=50－=20(km) …………………………………13分 ……………………………14分21. 解：（1）函数的定义域为，……………………1分时，，从而，故函数在上单调递减……3分时，若，则，从而，若，则，从而，故函数在上单调递减，在上单调递增；…………………………5分的极值点是，故………………6分，即，由于，即.……………………………………7分，则当时，；当时，∴在上单调递减，在上单调递增；……………………………9分，所以实数的取值范围为…………………………10分…………………11分，则，在上恒成立，即函数在上单调递增，………………13分，所以，得故………………14分gkstk图（1）图（2）福建省四地六校2013-2014学年高二下学期第一次月考（数学理）
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