第四章 函数应用
(时间90分钟，满分120分)
一、(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是( )
A．(1，－4) B．(4，－1)
C．1，－4 D．4，－1
解析：由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.
答案：D
2．今有一组实验数据如下表所示：
t1.993.04.05.1 6.12
u1.54.047.51218.01
则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝t2－12 D．u＝2t－2
解析：把t＝1.99，t＝3.0代入A、B、C、D验证易知，C最近似．
答案：C
3．储油30 3的油桶，每分钟流出34 3的油，则桶内剩余油量Q(3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为( )
A．[0，＋∞) B．[0，452]
C．(－∞，40] D．[0,40]
解析：由题意知Q＝30－34t，又0≤Q≤30，即0 ≤30－34t≤30，∴0≤t≤40.
答案：D
4．由于技术的提高，某产品的成本不断降低，若每隔3年该产品的价格降低13，现在价格为8 100元的产品，则9年后价格降为( )
A．2 400元 B．900元
C．300元 D．3 600元
解析：由题意得8 100×(1－13)3＝2 400.
答案：A
5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝12－3＝－52<0，
f(0)＝20＋3×0＝1>0.
∵y＝2x，y＝3x均为单调增函数，
∴f(x)在(－1,0)内有一零点
答案：B
6．若函数y＝f(x)是偶函数，其定义域为{xx≠0}，且函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．唯一一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
解析：根据偶函数的单调性和对称性，函数f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，则在(－∞，0)上也仅有一个零点．
答案：B
7．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由f(x)＝0，得x≤0，x2＋2x－3＝0或x>0，－2＋lnx＝0，
解之可得x＝－3或x＝e2，
故零点个数为2.
答案：C
8．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元 (不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费
( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
解析：y＝0.2＋0.1×([x]－3)，([x]是大于x的最小整数，x>0)，令x＝55060，故[x]＝10，则y＝0.9.
答案：B
9．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 ( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－12)
解析：令g(x)＝0，则4x＝－2x＋2.画出函数y1＝4x和函数y2＝－2x＋2的图像如图，可知g(x)的零点在区间(0,0.5)上，选项A的零点为0.25，选项B的零点为1，选项C的零点为0，选项D的零点大于1，故排除B、C、D.
答案：A
10．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x )，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
解析：A选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对，而B选项中即时价格在下降，而平均价格不变化，不正确．D选项中平均价格不可能越来越高，排除D.
答案：C
二、题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：f(x)＝x3－2x－5，
f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，
∵f(2)•f(2.5)<0，
∴下一个有根区间是(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
12．已知∈R时，函数f(x)＝(x2－1)＋x－a恒有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当＝0时，
由f(x)＝x－a＝0，
得x＝a，此时a∈R.
(2)当≠0时，令f(x)＝0，
即x2＋x－－a＝0恒有解，
Δ1＝1－4(－－a)≥0恒成立，
即42＋4a＋1 ≥0恒成立，
则Δ2＝(4a)2－4×4×1≤0，
即－1≤a≤1.
所以对∈R，函数f(x)恒有零点，有a∈[－1 ,1]．
答案：[－1,1]
13．已知A，B两地相距150 k，某人开汽车以60 k/h的速 度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 k/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是________．
解析：从A地到B地，以60 k/h匀速行驶，x＝60t，耗时2.5个小时，停留一小时，x不变．从B地返回A地，匀速行驶，速度为50 k/h，耗时3小时，故x＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325
所以x＝60t， 0≤t≤2.5，150， 2.5<t≤3.5，－50t＋325， 3.5<t≤6.5.
答案 ：x＝60t， 0≤t≤2.5150， 2.5<t≤3.5－50t＋325 3.5<t≤6.5
14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用 电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分0.568
超过50至200的部分0.598
超过200的部分0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分0.288
超过50至2 00的部分0.318
超过200的部分0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．
答案：148.4
三、解答题(本大题共4小题，共50分)
15．(12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：＝ 14x，N＝34x－1(x≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品 的资金投入分配应是多少？ 共能获得多大利润？
解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8－x)万元，共获得利润
y＝＋N＝14(8－x)＋34x－1.
令x－1＝t(0≤t≤7)，则x＝t2＋1，
∴y＝14(7－t2)＋34t＝－14(t－32)2＋3716.
故当t＝32时，可获最大利润3716万元．
此时，投入乙种商品的资金为134万元，
甲种商品的资金为194万元．
16．(12分)判断方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内是否存在实数解，若存在，有几个实数解？
解：令f(x)＝2ln x＋x－4.
因为f(1)＝2ln 1＋1－4＝－3<0，f(e)＝2ln e＋e－4＝e －2>0，
所以f(1)•f(e)<0.
又函数f(x)在(1，e)内的图像是连续不断的曲线，
所以函数f(x)在(1，e)内存在零点，即方程f(x)＝0在(1，e)内存在实数解．
由于函数f(x)＝2ln x＋x－4在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)在(1，e)内只存在唯一的一个零点．
故方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内只存在唯一的实数解．
17．(12分)某商品在近100天内，商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下：
f(t)＝t4＋22， 0≤t≤40，t∈Z，－t2＋52， 40<t≤100，t∈Z.
销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是
g(t)＝－t3＋1123(0≤t≤100，t∈Z)．
求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？
解：依题意，该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)＝f(t)•g(t)
＝t4＋22－t3＋1123， 0≤t≤40，t∈Z，－t2＋52－t3＋1123， 40<t≤100，t∈Z.
(1)若0≤t≤40，t∈Z，则
F(t)＝(t4＋22)(－t3＋1123)
＝－112(t－12)2＋2 5003，
当t＝12时，F(t)ax＝2 5003(元)
(2)若40<t≤100，t∈Z，则
F(t)＝(－t2＋52)(－t3＋1123)
＝16(t－108)2－83，
∵t＝108>100，
∴F(t)在(40,100]上递减，
∴当t＝41时，F(t)ax＝745.5.
∵2 5003>745.5，
∴第12天的日销售额最高．
18．(14分)某商场经营一批进价为12元/个的小商品．在4天的试销中，对此商品的单价(x)元与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
x16202428
y4230186
(1)能否找到一种函数，使它反映y关于x的函数关系？若能，写出函数解析式；
(2)设经营此商品的日销售利润为P(元)，求P关于x的函数解析式，并指出当此商品的销售价每个为多少元时，才能使日销售利润P取最大值？最大值是多少？
解： (1)由已知数据作图如图，
观察x，y的关系，可大体看到y是x的一次函数，令
y＝kx＋b.当x＝16时，y＝42；x＝20时，y＝30.
得42＝16k＋b， ①30＝20k＋b， ②
由②－①得－12＝4k，
∴k＝－3，代入②得b＝90.
所以y＝－3x＋90，显然当x＝24时，y＝18；
当x＝28时，y＝6.
对照数据，可以看到y＝－3x＋90即为所求解析式；
(2)利润P＝(x－12)•(－3x＋90)＝－3x2＋126x－1 080＝－3(x－21)2＋243.
∵二次函数开口向下，
∴当x＝21时，P最大为243.
即每件售价为21元时，利润最大，最大值为243元．
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