屯溪一中高二第一学期期中考试数学试卷一、选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分) 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为（ ） A． B. C. D. 2.设b、c表示两条直线，?、?表示两个平面，下列命题中真命题是A．若b,c∥?，则b∥cB．若b?,b∥c，则c∥?C．若c∥?，c?，则?⊥?D．若c∥?，，则c? 3.对于平面和共面的直线，，下列命题中真命题是Ａ．若，，则Ｂ．若，，则Ｃ．若，，则Ｄ．若，与所成的角相等，则4.已知直线、，平面、,给出下列命题:①若，且，则 ②若，且，则③若，且，则 ④若，且，则其中正确的命题是A..①③ B. ②④ C. ③④ D. ①④5．已知—l—β是大小确定的一个二面角，若a、b是空间两条直线，则能使a、b所成角的为定值的一个条件是A．a//且b//β B．a//且b⊥βC．a⊥且b//β D．a⊥且b⊥β6．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足则△BCD是（ ）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定7..若二面角为，直线，直线，则直线与所成的角取值范围是 ( )A． B． C．D．8.已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是Ａ.　　 Ｂ. 二面角P—BD—A为60°C. 直线∥平面 Ｄ. 9．正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（ ）A．2 B．3 C. 4 D. 5 10.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小 是 (　　)．某几何体的三视图如图所示，当a＋b取最大值时，这个几何体的体积为(　　)A． B. C. D.12.已知二面角α-l-β为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）(A) (B)2 (C) (D)4 二. 填空题（本大题共5小题 ，每小题4分，共20分）13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则C1MN = .14．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是A1B1C1D1的BD1上，∠PDA＝60(. 则DP与CC1所成角的大小是 .16.如图，正方体，则下列四个命题： ①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；②在直线上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;③在直线上运动时，二面角的大小不变；④M是平面上到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是过点的直线.其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号）.17.给出下面四个命题：过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 其中正确的命题序号为 （本题满分1分）一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）当FG=GD时，证明//平面FMC. （本题满分1分）中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值。；20．（本题满分1分）中，，是的中点. （1）求证：平面⊥平面；（2）若,求几何体的体积；（3）若为△的重心，试在线段上找一点，使得∥平面.21. （本题满分1分）平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；22. （本题满分1分）所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的正切值。屯溪一中高二第一学期期中考试数学试卷参考答案一、选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分) 1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.C 8.D 9.C 10.D 11.D 12.C 二. 填空题（本大题共5小题 ，每小题4分，共20分）13. 14. 4cm. 15. 45° 16. ①③④ 17. ② ④三．解答题（本大题共小题，总分70分）18.一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）当FG=GD时，证明//平面FMC.（Ⅲ）求三棱锥的体积；Ⅰ）由三视图可知面, 是边长为的正方形。因为, 所以，面 连结,, 所以，面, 面 所以（）连结交于,连结因为分别是的中点，所以//,//,所以，//,是平行四边形∥,面,面所以，//平面FMC.中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅰ）证明 取中点，连结．，．，．，平面．平面，．（Ⅱ）解 ，，．又，．又，即，且，平面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．是二面角的平面角．在中，，，，．二面角的大小的正弦值为20．如图，已知，在空间四边形中，，是的中点. （1）求证：平面⊥平面；（2）若,求几何体的体积；（3）若为△的重心，试在线段上找一点，使得∥平面.（1） 证明：∵BC=AC，E为AB的中点，∴AB⊥CE.又∵AD=BD，E为AB的中点∴AB⊥DE. ∵∴AB⊥平面DCE∵AB平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC. （2）∵在△BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，∴CD⊥BD，在△ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，∴CD⊥AD，∵∴CD⊥平面ABD.所以线段CD的长是三棱锥C-ABD的高。又在△ADB中，DE=∴VC-ABD=（3）在AB上取一点F，使AF=2FE，则可得GF∥平面CDE 取DC的中点H，连AH、EH∵G为△ADC的重心，∴G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH又∵FG平面CDE， EH平面CDE，∴GF∥平面CDE 21.如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；21.方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角） 为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° （II）证明：因为.方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ，22.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。解法一：（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，平面平面，所以⊥平面所以⊥.因为为等腰直角三角形， ，所以又因为，所以，即⊥,所以⊥平面。 （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面 取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC，所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN， 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM∥平面BCE （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD，作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD，作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH，因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角，因为FA=FE, ∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.设AB=1,则AE=1,AF=.FG=AF?sinFAG=在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG?sinGBH=?=在Rt△FGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的正切值为。 解法二： (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为FA=FE, ∠AEF = 45°,所以∠AFE= 90°.从而，.所以,,.,.所以EF⊥BE, EF⊥BC.因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,所以EF⊥平面BCE. (Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE. M (0,0，),P ( 1, ,0 ).从而=,于是?=?=0， 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PMM∥平面BCE. (Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）. ， 即 取y=1，则x=1，z=3。从而。取平面ABD的一个法向量为。。故二面角F—BD—A的余弦值为故其正切值为。 ！学优高考网（www.750gk.cn）向高考满分冲刺！学优高考网！！PBCAPEBCAPDBCAPBCA安徽省屯溪一中高二上学期期中考试 数学理试题
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