第二章 解三角形
§1　正弦定理与余弦定理
1.1　正弦定理
双基达标　限时20分钟
1．下列对三角形解的情况的判断中，正确的是 (　　)．
A．a＝4，b＝5，A＝30°，有一解
B．a＝5，b＝4，A＝60°，有两解
C．a＝3，b＝2，B＝120°，有一解
D．a＝3，b＝6，A＝60°，无解
解析　对于A，bsin A<a<b，故有两解；对于B，b<a，故有一解；对于C，B＝120°且
a>b，故无解；对于D，a<bsin A，故无解．
答案　D
2．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是 (　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确
定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知
④正确．
答案　B
3．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 (　　)．
A．75° B．60° C．45° D．30°
解析　由S△ABC＝33＝12BC•CA•sin C＝12×3×4sin C得sin C＝32，又C为锐角．故C＝
60°.
答案　B
4．在△ABC中，由“a>b”________推出“sin A>sin B”；由“sin A>sin B”________推出“a>b”．(填“可以”或“不可以”)
解析　在△ABC中，必有sin B>0，由正弦定理得ab＝sin Asin B，于是，若a>b，则ab>1，则sin Asin B>1.
由sin B>0，可得sin A>sin B；反之，若sin A>sin B，
由sin B>0，可得sin Asin B>1，则ab>1，a>b.
答案　可以　可以
5．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin A＝________.
解析　∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝π3，
∴由正弦定理，asin A＝bsin B，1sin A＝3sinπ3.∴sin A＝12.
答案　12
6．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
解　∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得asin A＝csin C＝2R，∴c＝a•sin Csin A＝10×3222＝56，∴2R＝asin A＝1022＝
10 2，∴R＝52.
综合提高（限时25分钟）
7．在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC＝ (　　)．
A．3－3 B.2 C．2 D．3＋3
解析　∵AB＝3，A＝45°，C＝75°，
由正弦定理得：BCsin A＝ABsin C⇒BCsin 45°＝ABsin 75°＝36＋24，
∴BC＝3－3.
答案　A
8．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2且A＝75°，则b等于(　　)．
A．2 B．4＋23
C．4－23 D.6－2
解析　sin A＝sin 75°＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋sin 45°cos 30°＝2＋64，
由a＝c＝6＋2可知，C＝75°，所以B＝30°，sin B＝12.
由正弦定理得b＝asin A•sin B＝2＋62＋64×12＝2，故选A.
答案　A
9．在△ABC中，a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝______.
解析　cos C＝13⇒sin C＝223；S△ABC＝12absin C⇒12•32•b•223＝43⇒b＝23.
答案　23
10．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是________．
解析　由正弦定理，得x＝bsin Asin B＝22sin A，
∵45°<A<90°或90°<A<135°，∴2<x<22.
答案　2<x<22
11．在△ABC中，已知tan B＝3，cos C＝13，AC＝36，求△ABC的面积．
解　设AB、BC、CA的长分别为c、a、b.
由tan B＝3，得B＝60°，∴sin B＝32，cos B＝12.
又sin C＝1－cos2C＝223，
由正弦定理，得c＝bsin Csin B＝36×22332＝8.
又∵A＋B＋C＝180°，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝32×13＋12×223＝36＋23.
∴所求面积S△ABC＝12bcsin A＝62＋83.
12．(创新拓展)在△ABC中，已知b＋aa＝sin Bsin B－sin A，且2sin A•sin B＝2sin2C，试判断其形状．
解　由正弦定理可得b＋aa＝sin Bsin B－sin A＝bb－a，
∴b2－a2＝ab，①
又∵2sin Asin B＝2sin2C，
∴由正弦定理，得2ab＝2c2.②
由①、②得b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.
∴该三角形为以B为直角顶点的直角三角形．

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