第三章 不等式
§1　不等关系
1.1不等关系
1.2 不等关系与不等式（一）

双基达标　限时20分钟
1．设＝4＋x2，N＝4x，则与N的大小关系为 (　　)．
A． ≥N B．＝N
C．≤N D．与x有关
解析　∵－N＝4＋x2－4x＝(x－2)2≥0.∴≥N.
答案　A
2．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 k/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 ，用不等式表示为 (　　)．
A．v≤120(k/h)或d≥10(.)
B.v≤120k/hd≥10
C．v≤120(k/h)
D．d≥10()
解析　最大限速与车距是同时的，故选B.
答案　B
3．若a∈R，且a2＋a＜0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是 (　　)．
A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2
解析　由a2＋a＜0得－a2＞a可排除A、C、D，故选B.
答案　B
4．若a＞0，b＞0，则1a＋1b与1a＋b的大小关系是________．
解析　∵1a＋1b－1a＋b＝a＋b2－ababa＋b＝a2＋ab＋b2aba＋b＞0，
∴1a＋1b＞1a＋b.
答案　1a＋1b＞1a＋b
5．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T(吨)满足的关系为________．
解析　由生活常识易知：T≤40.
答案　T≤40.
6．已知a＞0，b＞0，试比较ab＋ba与a＋b的大小．
解　ab＋ba－(a＋b)＝ab－b＋ba－a＝
a－bb＋b－aa＝a－ba－bab＝a－b2a＋bab，
∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0.
∴a－b2a＋bab≥0，当且仅当a＝b时等号成立．
∴ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．
综合提高（限时25分钟）
7．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是 (　　)．
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
解析　依题意得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
答案　D
8．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是 (　　)．
A.1a＜1b B．a2＞b2
C.ac2＋1＞bc2＋1 D．ac＞bc
解析　(1)特值法　令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，D均错．故
选C.
(2)直接法　∵a＞b，c2＋1＞0，∴ac2＋1＞bc2＋1.
答案　C
9．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不小于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为________；________；________.
解析　由题意易知三个不等关系用不等式可分别表示为a＜b，a＞b，a≥b.
答案　a＜b　a＞b　a≥b
10．下列不等式：
①x2＋3＞2x(x∈R)；
②a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)；
③a2＋b2≥2(a＋b－1)中正确不等式的序号为________．
解析　①中，∵x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，
∴x2＋3＞2x，故①正确．
②中，∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，虽然(a
－b)2≥0，但a＋b的正负无法确定，故②不正确．③中，∵a2＋b2－2(a＋b－1)＝a2＋b2
－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故③正确．
答案　①③
11．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t需消耗A种矿石10 t，B种矿石5 t，煤4 t；生产乙种产品1 t需消耗A种矿石4 t，B种矿石4 t，煤9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t，B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t．写出满足上述所有不等关系的不等式．
解　设生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，则
10x＋4y≤300，5x＋4y≤200，4x＋9y≤360，x≥0，y≥0.
12．(创新拓展)已知－12＜a＜0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝11＋a，D＝11－a.试将A，B，C，D按大小顺序排列．
解　∵－12＜a＜0，∴不妨取a＝－14，
则A＝1716，B＝1516，C＝43，D＝45.
由此猜想：D＜B＜A＜C.
只需证明C－A>0，A－B＞0，B－D＞0即可．
∵B－D＝(1－a2)－11－a＝a3－a2－a1－a
＝aa－122－541－a，
又－12＜a＜0，∴1－a＞0.又－1＜a－12＜－12，
∴14＜a－122＜1，故a－122－54<0，
∴aa－122－541－a＞0，∴B＞D.
∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0，∴A＞B.
∵C－A＝11＋a－(1＋a2)＝－aa2＋a＋11＋a＝
－aa＋122＋341＋a，
又1＋a＞0，－a＞0，a＋122＋34＞0，
∴－aa＋122＋341＋a＞0，∴C＞A.
综上可得A，B，C，D四个数的大小顺序是C＞A＞B＞D.


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