数学试卷
说明：
1．考试时间120分钟，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.
3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。
卷Ⅰ( 共60分)
一、.（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1.平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足条件PF1－PF2＝6，则动点P的轨迹方程是 （ ）
（A） － ＝1 (x≤－4) （B） － ＝1(x≤－3)
（C） － ＝1 (x>≥4) （D） － ＝1 (x≥3)
2. 圆x2＋y2＝2的经过点P( ,2－ )的切线方程是 （ ）
（A）x＋y＝2 （B）x＋y＝ （C）x＝ 或x＋y＝2 （D）x= 或x＋y＝
3.已知圆(x－2)2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x－2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为： （ ）
（A）2x+y－5=0 （B）x－2y=0 （C）2x+y－3=0 （D）x－2y+4=0
4.已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x轴上，则此椭圆的标准方程是 （ ）
（A） ＋ ＝1 （B） ＋ ＝1 （C） ＋ ＝1 （D） ＋ ＝1
5.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
6.椭圆 的离心率是 ，则它的长半轴的长是 （ ）
（A）1 （B）1或2 （C）2 （D） 或1
7. P(x, y)是椭圆 ＋ =1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线PD，D是垂足，M是PD的中点，则M的轨迹方程是 （ ）
（A） ＋ =1 （B） ＋ =1 （C） ＋ =1 （D） ＋ =1
8.设双曲线 (b>a>0)的半焦距为 ，直线 过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到直线 的距离是 ,则双曲线的离心率是 （ ）
（A）2 （B） （C） （D）
9.曲线y＝1＋ 与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点时，实数k的取值范围是（ ）
（A）( ,＋∞) （B） ( , ] （C）(0， ) （D）( , )
10. 给出方程 和三个结论：①方程的曲线是双曲线；②方程的曲线是椭圆或圆；③方程无轨迹．下面的说法一定正确的是 （ ）
（A）只有①正确 （B）只有②正确
（C）③不正确 （D）①②③都有正确的可能
11. 直线y＝x＋3与曲线 =1的交点的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
12. 已知椭圆 （a＞b＞0）与双曲线 有公共的焦点， 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点.若 恰好将线段 三等分，
则 ( )
（A） （B） （C） (D)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上）
13. 双曲线 － ＝1的渐近线方程是 ______。
14. 已知方程 + =1表示双曲线，则k的取值范围是 。
15. 与两条平行直线x＋3y－5=0, x＋3y－3=0相切，且圆心在直线2x＋y＋3=0上的圆的标准方程是 。
16. 已知椭圆 的两焦点为F1, F2,上顶点为B，那么△F1B F2的外接圆方程为 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、（本小题满分10分） 在椭圆 ＋ =1内有一点M(4, －1),使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程。
18、（本小题满分10分）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x－y－4=0被此椭圆所截得的弦长为 ，求此椭圆的方程。
19、（本小题满分12分） 已知经过点A（0，1）和点B（4，a），且与x轴相切的圆只有一个，求此时a的值及相应的圆的方程。
20、（本小题满分12分）设椭圆C: 过点（0，4），离心率为 ，
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标.
21、（本小题满分12分）
已知点M(－2,0),N(2,0),动点P满足条件PM－PN= .记动点P的轨迹为W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点, 是坐标原点,求 的最小值.22、（本小题满分14分） 如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为 。一等轴双曲线的顶 点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 .
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ；
参考答案
1D；2C；3C；4B；5B；6B；7C;8A;9B;10C;11A;12;C
13 . ± ＝0 14. k<－3或k>2
15.(x＋ )2＋(y－ )2= ； 16.x2＋y2=1
17.答案：x－y－5=0
提示：设直线的斜率为k，则y＋1=k(x－4), 与椭圆 ＋ =1联立，
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2＋8k)－40＝0，∴ x1＋x2= =8, 解得k=1,
∴AB的方程是x－y－5=0
18.4x2＋5y2=24；提示：∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距, ∴4c2=(a＋c)(a－c),解得a2=5c2, ∴b2=4c2, 将4 x2＋5y2=m与2x－y－4=0联立，代入消去y得24x2－80x＋80－m=0, 由弦长公式 = x1－x2得 = × ,解得m=24,∴椭圆的方程是4x2＋5y2=24
19.a=1时，圆的方程是(x－2)2＋(y－ )2= ,
a=0时，圆的方程是(x－4)2＋(y－ )2=
提示：设圆心坐标是(m, n)，半径为n, 则圆的方程为(x?m)2＋(y?n)2=n2, 将A、B坐标代入，消去n得 (1－a)m2－8m＋(a2－a＋16)=0, 当a=1时, m有唯一解，m=2, n= , 圆的方程为(x－2)2＋(y－ )2= ，当a≠1时, △=0解得a(a2－2a＋17)=a[(a－1)2＋16]=0,解得a=0,m=4, n= , 此时圆的方程为(x－4)2＋(y－ )2=
20. 解：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得 ∴b=4又 得 即 ， ∴ ∴C的方程为
（ Ⅱ）过点 且斜率为 的直线方程为 ，
设直线与Ｃ的交点为Ａ ，Ｂ ，将直线方程 代入Ｃ的方程，
得 ，即 ， AB的中点坐标 ， ，即中点为 。
21.（Ⅰ）由PM－PN= 知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实半轴长 ，又半焦距 c=2，故虚半轴长
所以 W 的方程为 ,
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为 ,
当 AB⊥x轴时, 从而 从而
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为 ,与W的方程联立,消去y得
故
所以
.
又因为 ,所以 ,从而
综上,当AB⊥ 轴时, 取得最小值2.
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