北京市东城区（南片）2015—2014学年上学期高二期末考试数学试卷（理科）（考试时间120分钟 满分100分）一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 命题p?x＝0，命题q?xy＝0，则p与q的推出关系是 A. B. C. D. 2. 在边长为2的正方形ABCD内随机取一点E，则点E满足AE＜2的概率为 A. B. C. D. 3. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是线段A1C1上一动点，那么直线CE恒垂直于A. AC B. BD C. A1D D. A1D14. 如图所示，程序框图的输出结果为 A. B. C. D. 5. 一组数据的方差是s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是A. 2s2 B. 4s2 C. 8s2 D. 16s26. 用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 平面平面的一个充分条件是A. 存在一条直线，且B. 存在一个平面，∥且∥C. 存在一个平面，⊥且⊥D. 存在一条直线，且∥8. 设是椭圆上一动点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为A. 3 B. 4 C. 5 D. 16二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。）9. 某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为 。10. 下列命题中，真命题的是 。 ①必然事件的概率等于l ②命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题 ③对立事件一定是互斥事件 ④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题11. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图为正三角形，则该几何体的体积为 。12. 已知圆过椭圆的右顶点和右焦点，圆心在此椭圆上，那么圆心到椭圆中心的距离是 。13. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB1＝4，AD1＝3，则对角线AC1的取值范围是 。14. 已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 。三、解答题（本大题共5小题，其中第15、16题各8分，第17、18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15. （本小题满分8分）在打靶训练中，某战士射击一次的成绩在9环（包括9环）以上的概率是0.18，在8～9环（包括8环）的概率是0.51，在7～8环（包括7环）的概率是0.15，在6～7环（包括6环）的概率是0.09。计算该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率和该战士打靶及格（及格指6环以上包括6环）的概率。16. （本小题满分8分） 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m／s）的数据如下表。甲273830373531乙332938342836（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息?（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m／s）数据的平均数、中位数、方差，并判断选谁参加比赛更合适。17. （本小题满分9分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，点D是AB的中点。（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求四面体B1C1CD的体积。18. （本小题满分9分）2015年某市某区高考文科数学成绩抽样统计如下表：（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（纵坐标保留了小数点后四位小数）（Ⅱ）若2015年北京市高考文科考生共有20000人，试估计全市文科数学成绩在90分及90分以上的人数；（Ⅲ）香港某大学对内地进行自主招生，在参加面试的学生中，有7名学生数学成绩在140分以上，其中男生有4名，要从7名学生中录取2名学生，求其中恰有1名女生被录取的概率。19. （本小题满分10分）己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线与椭圆C交于不同两点M，N。 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线斜率为1，求线段MN的长； （III）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y的取值范围。北京市东城区（南片）2015—2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. A 2. A 3. B 4. A 5. B 6. B 7. D 8. B二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。） 9. 13 10. ①③④ 11. 12. 13. (4，5) 14. 2三、解答题（本大题共5小题，其中第15、16题各8分，第17、18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15. （本小题满分8分）解：分别记该战士的打靶成绩在9分以上、在8～9分、在7～8分、在6～7分分别为事件B、C、D、E，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，该战士的打靶成绩在8分以上的概率是 P（BC）＝P（B）＋P（C）＝0.18＋0.51＝0.69。 6分该战士打靶及格的概率，即成绩在6分以上的概率，由公式得P（BCDE）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93。 8分16. （本小题满分8分）解：（1）画茎叶图，中间数为数据的十位数。从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好。 5分（2）；甲的中位数是33，乙的中位数是33.5。乙的成绩比甲稳定，综合比较选乙参加比赛较为合适。 8分17. （本小题满分9分）（Ⅰ）证明：连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE。∵三棱柱ABC－A1B1C1，CC1⊥底面ABC，CC1＝BC＝2，∴四边形BCC1B1为正方形。∴E为BC1中点。∵D是AB的中点，∴DE∥AC1。∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1。 4分解（Ⅱ）在平面ABC内作DF⊥BC于点⊥平面ACB平面ACB∴CC1⊥DF。∵BCCC1＝C∴DF⊥平面BCCB1。∴DF是三棱锥D－CC1B1的高，∵AC＝BC＝CC1＝2∴ DF＝1。∴四面体B1C1CD的体积为。 9分18. （本小题满分9分） 解：（Ⅰ），则M＝1000，m＝436，n＝0.436，N＝0.220。 5分（Ⅱ）设全市文科数学成绩在90及90分以上的人数为x，则，x＝13120。 7分（Ⅲ）设4名男生分别表示为A1、A2、A3、A4，3名女生分别表示为B1、B2、B3则从7名学生中录取2名学生的基本事件有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共21种设“选2人恰有1名女生”为事件A，有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），共12种，则。故7人中录取2人恰有1人为女生的概率为。 9分19. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意：，，，所求椭圆方程为。 3分（Ⅱ）由题意，直线l的方程为：。由得，所以。 7分（Ⅲ）当轴时，显然。当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为。由消去y整理得。设，，线段MN的中点为，则。所以，线段MN的垂直平分线方程为在上述方程中令x＝0，得当时，；当时，。所以，或。综上，y0的取值范围是。 10分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 0 每天发布最有价值的高考资源北京市东城区（南片）2015-2016学年高二上学期期末考试数学理试题
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