昆明三中-学年度高二年级上学期期中试题
数 学（理）
（共100分, 考试时间120分钟）
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题3分，共36分. 每小题只有一项是符合题目要求）
1．抛物线y2＝4x，经过点P(3，)，则点P到抛物线焦点的距离等于( )
A.94 B．4 C.134 D．3
2．双曲线x2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则等于( )
A．－14 B．－4 C．4 D.14
3．命题：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
4.“>n>0”是“方程x2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 ( )
A．充分而不必要条件 B． 充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线
x＋2y＋10＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 ( )
A．5 B．4 C.1155 D.115
6．设a∈R，则a＞1是1a＜1的 ( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 已知椭圆x25＋y2＝1的离心率e＝105，则的值为 ( )
A3 B．3或253 C.15 D.15或5153
8．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B.15 C. 75 D. 35
9. 若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，求该双曲线的离心率是 ( )
A.5 B.62 C．233 D. 2
10．从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为，设抛物线的焦点为F，且PF＝5，则△PF的面积为( )
A．56 B.2534 C．20 D．10
11．在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1 C．2 D．3
12．已知椭圆 与双曲线 共焦点，则椭圆 的离心率 的取值范围为
昆明三中-学年度高二年级上学期期中试题
数 学（理）
第Ⅱ卷
题号一二三总分
1718192021
得分
二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）
13．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 ；
14．设实数 满足 ，则 的最大值是 ；
15．经过椭圆x22＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则OA→•OB→=
16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，则我们知道1AF＋1BF为定值，请写出关于椭圆的类似的结论： _____________________________________ ___________；当椭圆方程为x24＋y23＝1时，1AF＋1BF＝___________.
三、解答题：（本大题共5小题，共52分）
17．(本小题满分10分)
设命题p：4x－3≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若┐p是┐q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
18. （本小题满分10分）
（1）求与椭圆 共焦点的抛物线的标准方程.
(2)已知两圆 ， ，动圆 与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心 的轨迹方程．
19．（本小题满分10分）
如图，已知点P在正方体 的对角线 上， .
（1）求DP与CC1所成角的大小；
（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.
20．（本小题满分10分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2， ，且侧面PAB是正三角形，平面 平面ABCD.
（1）求证： ；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E—BD—A的大小为 ，若存在，试求 的值，若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知圆C的方程为 ，过点（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆 的右顶点和上顶点.
（1）求椭圆T的方程；
（2）已知直线 与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线 方程为 ，O为坐标原点，求 面积的最大值.
昆明三中-学年度高二年级上学期期中试题
数 学（理）答案
一、选择题：BADBC ABCCD DA
二、填空题：
13. 存在x∈R，x3－x2＋1＞0 14. 15. －13
16. 过椭圆的焦点F的动直线交椭圆于A、B两点，则1AF＋1BF为定值 43
三、解答题：
17.解析：解4x－3≤1得12≤x≤1.解q得a≤x≤a＋1.由题设条件得q是p的必要不充分条件，即p⇒q，q p.
∴[12，1] [a，a＋1]．
∴a≤12且a＋1≥1，得0≤a≤12.
18.（1） 或
（2）
19. 解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 ．
则 ， ．连结 ， ．
在平面 中，延长 交 于 ．设 ，
由已知 ，由
可得 ．解得 ，所以 ．
（Ⅰ）因为 ，
所以 ．即 与 所成的角为 ．
（Ⅱ）平面 的一个法向量是 ．
因为 ，
所以 ．
可得 与平面 所成的角为 ．
20．解析：
取AB中点H，则由PA＝PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H为原点，建立空间直角坐标系H－ （如图）．则
（I）证明：∵ ,
∴ ，
∴ ，即PD⊥AC． ………．．6分
（II） 假设在棱PA上存在一点E，不妨设 =λ ，
则点E的坐标为 ， ………．．8分
∴
设 是平面EBD的法向量，则
，
不妨取 ，则得到平面EBD的一个法向量 ．
又面ABD的法向量可以是 =（0,0, ），
要使二面角E-BD-A的大小等于45°，
则
可解得 ，即 =
故在棱 上存在点 ，当 时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．
21．解析：
（Ⅰ）由题意：一条切线方程为： ，设另一条切线方程为：
则： ，解得： ，此时切线方程为：
切线方程与圆方程联立得： ，则直线 的方程为
令 ，解得 ，∴ ；令 ,得 ,∴
故所求椭圆方程为
（Ⅱ）联立 整理得 ，
令 ， ，则 ， ，
，即：
原点到直线 的距离为 ，
，
=
当且仅当 时取等号，则 面积的最大值为1．
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