蚌埠二中2011—2012学年度第二学期期中考试
高二数学试题（科）
（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）
命题人:耿晓燕
注意事项：
第Ⅰ卷所有的答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置、第Ⅱ卷的答案做在答题卷的相应位置上，否则不予计分。
第Ⅰ卷（ 共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1. 平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“PA+PB是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（ ）
A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件
C． 甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件
2.下面说法正确的是（ ）
A.实数 是 成立的充要条件
B. 设p、q为简单命题，若“ ”为假命题，则“ ”也为假命题。
C. 命题“若 则 ”的逆否命题为真命题.
D. 给定命题p、q，若 是假命题，则“p或q”为真命题.
3． 双曲线 的焦距是（ ）
A．4B． C．8D．与 有关
4．命题“两条对角线不垂直的四边形不是菱形”的逆否命题是( )
A．若四边形不是菱形，则它的两条对角线不垂直
B．若四边形的两条对角线垂直，则它是菱形
C．若四边形的两条对角线垂直，则它不是菱形
D．若四边形是菱形，则它的两条对角线垂直
5．在同一坐标系中，方程 的曲线大致是（ ）
6. 抛物线 的焦点坐标为（ ）
A.（1，0） B.（－1，0） C.（0，1） D.（0，－1）
7．已知F1、F2是双曲线 的两个焦点，PQ是过点F1的弦，且PQ的倾斜角为 ，那么PF2＋QF2－PQ的值为（ ）
A.16 B.12 C.8 D. 随 大小变化
8. 与直线 平行的抛物线 的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知两点 ,N ,给出下列曲线方程：① ；② ；
③ ；④ 。在曲线上存在点P满足 的所有曲线方程是( )
A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D.②③④
10. 双曲线 的两焦点为 ， 在双曲线上且满足 ，则 的面积为（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分)
11.命题“ 使得 ”的否定是 .
12.已知函数 ，则 .
13.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为 .
14．如图是 的导数的图像，则正确的判断是
（1） 在 上是增函数
（2） 是 的极小值点
（3） 在 上是减函数，在 上是增函数
（4） 是 的极小值点
以上正确的序号为 .
15．在曲线 的切线中斜率最小的切线方程是____________________.
三、解答题（本大题6小题，满分75分）
16．(12分) 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 的一个焦点，并于双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为 ，求抛物线的方程和双曲线的方程。
17．（12分）命题p：关于 的不等式 的解集为 ；
命题q：函数 为增函数．
分别求出符合下列条件的实数 的取值范围．
（1）p、q至少有一个是真命题；（2）p∨q是真命题且p∧q是假命题．
18．（12分）已知函数
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若 在区间 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
19．（13分）已知动点 与平面上两定点 连线的斜率的积为定值 ．
（1）试求动点 的轨迹方程 ；
（2）设直线 与曲线 交于．N两点，当 时，求直线 的方程．
20．（13分）已知函数 的图象过点（-1，-6），且函数 的图象关于y轴对称.
（1）求 、 的值及函数 的单调区间；
（2）若函数 在（-1，1）上单调递减，求实数 的取值范围。
21．（13分）设椭圆E: （a,b>0）过（2， ） ，N( ,1)两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由。
蚌埠二中2011-2012学年度高二第二学期期中考试
数学（科）参考答案
一选择题
1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.C 7.A 8. D 9.A 10. B
二题
11． ， 使得 12. 13. 53 14. （2）（3）
15 .
三解答题
16. 解：由题意可知，抛物线的焦点在x轴，又由于过点 ，所以可设其方程为 ∴ =2 所以所求的抛物线方程为
所以所求双曲线的一个焦点为（1，0），所以c=1，所以，设所求的双曲线方程为 而点 在双曲线上，所以 解得 所以所求的双曲线方程为 .
17.解：p命题为真时，∆= <0,即a> ,或a<-1．①
q命题为真时，2 -a>1，即a>1或a<- ．②
（1）p、q至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为a<- 或a> ．
故p、q至少有一个为真命题时a的取值范围是 ．
（2）p∨q是真命题且p∧q是假命题，有两种情况：p真q假时， <a≤1；p假q真时，-1≤a<- ．
故p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的取值范围为 ．
18. 解：（1）因为 ，令 ，解得 或 ，
所以函数的单调递减区间为
（2）因为 ，且在 上 ，
所以 为函数的单调递增区间，而
，所以
所以 和 分别是 在区间 上的最大值和最小值
于是 ，所以 ，
所以 ，即函数在区间 上的最小值为
19. 解：（1）设点 ，则依题意有 ，
整理得 ，由于 ，
所以求得的曲线C的方程为 ．
（2）由 ，消去 得 ，
解得x1=0, x2= 分别为，N的横坐标）
由
得 ，所以直线 的方程 或 ．
20.解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得-n=-3,
由f(x)=x3+x2+nx-2，得f′（x）=3x2+2x+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2+6)x+n;
而g(x)图象关于y轴对称，所以－ ＝0，所以=-3,代入①得n=0.
于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>0得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；
由f′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是（0，2）.
（2）解： 由 在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2-6x对x∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x2 -6x<9,∴只需a≥9.∴a≥9.
21. 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过（2， ） ，N( ,1)两点,
所以 解得 所以 椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ,设该圆的切线方程为 解方程组 得 ,即 ,
则△= ,即
, 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以 又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 , , ,所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 ,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或 满足 ,综上, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 .
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