汕头市金中学2012-2013年度第二学期期中考试
高二理科数学
2012.4

本试题分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，满分150分，考试120分钟.

第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.若复数 满足 ( 是虚数单位)，则其共轭复数 =( )
A．1-i B．-i C．i D．1+i
2.根据右边给出的数塔猜测123456 9+8=（ ）
A .1111110 1 9+2=11
B. 111111 1 12 9+3=111
C. 1111112 123 9+4=1111
D. 1111113 1234 9+5=11111
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 ”时，反设正确的是（ ）
A 假设三内角都不大于 B 假设三内角都大于
C 假设三内角至多有一个大于 D 假设三内角至多有两个大于
4.函数 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5.如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有
A. 11种 B. 20种 C. 21种 D. 12种 第5题图
6. 设函数 在 上的导函数为 ，且 ，下面的不等式在 内恒成立的是：
A． B． C． D．
7.函数 的图像大致是

8.已知 函数 的定 义域为 ,部分对应值如下表。 的导函数 的图像如图所示。
下列关于函数 的命题：
①函数 在 上是减函数；②如果当 时， 最大值是 ，那么 的最大值为 ；③函数 有 个零点，则 ；④已知 是 的一个单调递减区间，则 的最大值为 。
其中真命题的个数是（）A 4个 B 3个 C 2个 D 1个

第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)
9. 在5道题中有3道理科题和2道科题。如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率是__________.
10. ______.
11. 用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，7与8不相邻，这样的八位数共有________.
12. 已知 的展开式中， 的系数小于 ，则 __________.
13. 下列四种说法中正确的是 .
①若复数 满足方程 ，则 ；②线性回归方程对应的直线
一定经过其样本数据点 ， ，…， 中的一个点；
③若 , 则 ；
④用数学归纳法证明 时，从 到 的证明，左边需增添的一个因式是 .
多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)
三棱锥446
三棱柱56…
正方体………
…………
14.（1）18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F、V、E之间的关系等式： ；
（2）运用你得出的关系式研究如下问题：一个凸多面体的各个面 都是三角形，则它的面数F可以表示为顶点数V的函数， 此函数关系式为____________.

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分11分）
在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的面积.

16．（本小题满分13分）
在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， ， 平面 ， ， ， ， ，且 是 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）线段 上是否存在一点 ，
使得 与 所成的角为 ？
若存在，求出 的长度；若不
存在，请说明理由.

17. （本小题满分14分）
某户外用品专卖店准备在“五一”期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种不同品牌的冲锋衣，2种不同品牌的登鞋和3种不同品牌的羽绒服中，随机选出4种不同的商品进行促销（注：同种类但不同品牌的商品也视为不同的商品），该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有三次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得 元奖金。假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 ，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量 。
（1）求随机选出 的4种商品中，冲锋衣，登鞋，羽绒服都至少有一种 的概率；
（2）请写出 的分布列，并求 的数学期望；
（3）该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

18．（本小题满分14分）
已知抛物线 经过点A（2，1），过A作倾斜角互补的两条不同的直线
（1）求抛物线W的方程及其准线方程；
（2）当直线 与抛物线W相切 时，求直线 与抛物线W所围成封闭区域的面积；
（3）设直线 分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程．
19．（本小题满分14分）
已知函数 ，其中
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）求 的单调区间；
（3）若 的最小值为 ，求 的取值范围。

20．（本小题满分14分）
设函数 （ 为自然对数的底数），
（1）证明： ；
（2）当 时，用数学归纳法证明： ；
（3）证明：

汕头市金中学2011-2012年度第二学期期中考试
高二理科数学 参考答案及评分标准

一、选择题答案栏（40分）
题号12345678
答案CCBDCABB
二、题（30分）
9. 10. 11.576 12． 13.③④ 14． ；
三、解答题（80分）

16．证明：（1）取 的中点 ，连接 .
在△ 中， 是 的中点， 是 的中点，所以 ，
又因为 ，
所以 且 .
所以四边形 为平行四边形，
所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，
故 平面 . …………… 6分
解法二：因为 平面 ， ，故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . ……………1分
由已知可得

（1） ， . ……………2分
设平面 的一个法向量是 .
由 得
令 ，则 . ……………3分
又因为 ，
所以 ，又 平面 ，所以 平面 . ……………6分
（2）假设在线段 上存在一点 ，使得 与 所成的角为 .
不妨设 （ ），则 .
所以 ，
由题意得 ，
化简得 ，
解得 .
所以在线段 上不存在点 ，使得 与 所成的角为 .…………14分
17.

19．解（Ⅰ）
∵ 在x=1处取得极值，∴ 解得 经检验满足题意。
（Ⅱ）
∵ ∴
①当 时，在区间 ∴ 的单调增区间为
②当 时，
由
∴
（Ⅲ）当 时，由（Ⅱ）①知，
当 时，由（Ⅱ ）②知， 在 处取得最小值
综上可知，若 得最小值为1，则a的取值范围是
2020.

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