云南省个旧市2015-2016学年高二上学期期末考试数学（理）试题满分150分，考试时间120分钟一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合，，则 ． ． ． ．【答案】．【解析】，所以；故选．2．若，，则．， ．， ．， ．，【答案】源【解析】由，由；故选．3．设等差数列的前项和为，是方程的两个根，． ． ． ．【答案】．【解析】、是方程的两个根，＋＝1，故选．4．设是所在平面内的一点，，则． ． ． ． 【答案】．【解析】∵，∴，即故选．5．已知函数的图象恒过点，角的终边过点，则． ． ． ． 【答案】．源【解析】函数的图象恒过点得函数的图象恒过点，又角的终边过点，所以，而，所以由三角函数的定义得：；故选．6．已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，给出四个命题： ①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中正确的命题是．①② ．②③ ．①④ ．②④【答案】．①、④错；故选．7．已知等比数列的公比，其前项和，则等于．．．．【答案】．【解析】故选．右图是函数在一个周期内的图象，此函数的解析式可为． ． ． ．【答案】．【解析】由于最大值为，所以；又∴，将代入得，结合点的位置，知，∴函数的解析式为可为故选．9． 若，满足约束条件，则目标函数的最大值是． ． ． ．【答案】．【解析】实数，满足不等式组则可行域如图，作出，平移，当直线通过时， 的最大值是故选．．与圆，：都相切的直线有．1条 ．2条 ．3条 ．4条【答案】．【解析】已知圆化为标准方程形式：：；：；两圆心距等于两圆半径差，故两圆内切；它们只有一条公切线．故选．11．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的． ． ． ． 【答案】．【解析】框图运算的结果为： ．过点和点，则直线的斜率的最大值为．．．．【答案】．【解析】，则点是圆上的动点，过点，的直线的斜率的最大值为直线与圆相切时的斜率的最大值；设切线方程为即，则圆心到直线的圆距离为；即或舍去；故选．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．已知函数　，则不等式的解集是　　 　 　。【答案】 【解析】∵，若，则若，则∴ 不等的解集是． 14．中，，，则数列的通项公式是 【答案】【解析】得： ，∴15．在中，角所对的边分别为，若，，则【答案】 【解析】依题意， ，由余弦定理，∵ ， ∴．16． ①若，，则 ；②若与函数，的图像分别交于点，，则的最大值为；③ 若数列为单调递增数列，则取值范围是；④若直线的斜率，则直线的倾斜角；其中真命题的序号是：_________．【答案】【解析】，，则，所以成立；对于②，，故②正确；对于③，恒成立，故③不正确；对于④，由倾斜角，故④不成立，故正确的有①②．三．解答题（本大题共6小题，满分0分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．（本题1分）已知向量，，且，其中、、是的内角，分别是角，，的对边．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值.【解析】（Ⅰ）由得 （分）由余弦定理 （分）又，则 （分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则（分） ∴ ∴ （分）∴ 即最大值（分）18．（本题1分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组，，，后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段的概率．【解析】（Ⅰ）分数在内的频率为： （分）（Ⅱ）由题意，分数段内的人数为人；分数段内的人数为人，（分）用分层抽样的方法在分数段的学生中抽取一个容量为的样本，需在分数段内抽取人，并记为；在分数段内抽取人，并记为；（分）设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事件，则基本事件共有：，，，，，，，，，，，，，，共个；其中至多有1人在分数段内的基本事件数有：，，，，，，，，共个；∴ （12分）19．（本题1分）在三棱锥中，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，当三棱锥的体积最大时，求的长．【解析】（Ⅰ）证明：∵∴， （1分）∵，∴ （2分）∵，∴ （分）∵，∴，∴， （分）∵，∴平面平面； （分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵，， （分）设，则 （分） （分）∴ （1分）当且仅当即时取等号； （分）∴当三棱锥的体积最大时，的长为． （12分）20．（本题1分）已知为锐角，且，函数，数列的首项.（Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求数列的前项和.【解析】（Ⅰ） 又∵为锐角∴ ∴ （分） （1分）两式相减，得 （1分） （12分）21．（本题1分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本(万元)与年产量(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨．（Ⅰ）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（Ⅱ）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解析】（Ⅰ）（万元（1分） （分），即时取等号 （分）吨时，每吨平均成本最低为万元（分）（Ⅱ）万元（分） （1分）在上是增函数．时，有最大值∴年产量为吨时，可以获得最大利润万元．（12分）22．（本题12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（Ⅱ）对于，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）由，解得或，∴函数的定义域为 （2分）当时，．∴是奇函数． （5分）本卷第1页（共10页）云南省个旧市2015-2016学年高二上学期期末考试数学（理）试题
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