一．选择题（共12题，每题5分）1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这4句诗中,哪句可作为命题( )A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思2．若k∈R则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是(　　)A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l∥α，α∥β，则l∥β4.设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件， 则点P的轨迹是（ ）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段5. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为 6．过椭圆＋＝1内的一点P(2，－1)的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是(　　)A．5x－3y－13＝0 B．5x＋3y－13＝0 C．5x－3y＋13＝0 D．5x＋3y＋13＝07．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x8.　椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为（ ）A．4　　　B．2　 　C．8　 D．9．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　　)A. B．2 C. D．1510．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若PQ＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　　)A．28　　　B．14－8 C．14＋8 D．811．如图，A、B、C分别为椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)[]A. B．1－ C.－1 D.12．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是(　　)A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分二．填空题（共4题，每题5分）13．如右图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则＋＋＋＋＋＋＝__________ 14.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径PF为直径的圆与y轴的位置关系为[]21．已知，椭圆C过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程。(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．高二数学月考四答案2013.121．解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文知识判断这4句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假.“红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是命题;“春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题;“愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题;“此物最相思”是感叹句,故不是命题.答案:A＋y2＝－2，∴(x1－x2)－(y1－y2)＝0，∴kA1A2＝＝.∴弦所在直线方程为y＋1＝(x－2)，即5x－3y－13＝0.答案：A7.解析：　由题意＝，所以a2＝4b2.故双曲线的方程可化为－＝1，故其渐近线方程为y＝±x.答案：　A8.解；如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A．9.解析：选A.令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴AB＝＝＝.10.解析：PF2＋PQ＋QF2＝PF2－PF1＋QF2－QF1＋2?PQ＝14＋8.答案：C[]11.【解析】　由已知得a2＋(a2＋b2)＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，∴e2＋e－1＝0，∵1＞e＞0，∴e＝.【答案】　A12.[答案]　D [解析]　延长F1P交QF2于R，则QF1＝QR.∵QF2－QF1＝2a，∴QF2－QR＝2a＝RF2，又OP＝RF2，∴OP＝a.16. 答案：[解析] ，17.解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2,0)、O2(2,0)．由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2.因为两圆的半径均为1，所以PO－1＝2(PO－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．。。。。。。。。。。。（10分）18.证明：由b2x2－a2y2＝a2b2得：－＝1.∴F1F2＝2c，且PF1－PF2＝2a，则PF12＋PF22－2PF1PF2＝4a2.①根据余弦定理PF12＋PF22－2PF1PF2cos α＝4c2.②②－①整理得：PF1PF2＝，∴S△F1PF2＝PF1PF2sin α＝b2＝b2cot.。。。。。。。。。。。（12分）19.解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，[]所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.。。。。。。。。（4分）(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图)．在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.在Rt△CDE中，DE＝CD?cos45°＝1，CE＝CD?sin45°＝1.设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)．由AB＋AD＝4得AD＝4－t，所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)，＝(0,4－t，－t)．设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥，得取x＝t，得平面PCD的一个法向量n＝(t，t,4－t)．。。。。。。。。。。。（8分）又＝(t,0，－t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得cos60°＝，即＝，解得t＝或t＝4(舍去，因为AD＝4－t>0)，所以AB＝.．。。。。。。。。。。。（12分）20.解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4∴?＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. （5分）(2)设l： x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b∴?＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．。。。。。。。。。。。（12分）解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意∴b＝1.∴所求椭圆方程为＋y2＝1. .。。。。。。。。（4分）(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，①当AB⊥x轴时，AB＝，②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知＝，得m2＝(k2＋1)，把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0∴x1＋x2＝，x1x2＝.∴AB2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)＝＝＝3＋＝3＋(k≠0)！www.gkstk.cn）！www.gkstk.cn）！山西省朔州市应县一中2013-2014学年高二上学期第四次月考数学（理）试题
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