2013年12月南山中学2015级12月模拟考试（理科）数学试题题卷命题：周莉莎 审题：罗伟考生注意：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间100分钟.选择题用2B铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答.第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题有10个小题，每个小题给出的四个选项中只有一个正确，请把正确选项涂在机读卡上.每小题选正确得4分，共40分.）1.直线的倾斜角为（　）A．　　 　B． C． D．2.（　）A．　　B．C．D．3.《几何原本》的作者是（　）A.欧几里得 B.阿基米德 C.阿波罗尼奥斯 D.托勒玫4.将点的直角坐标(－2，2)化是正值，极角在0到之间的极坐标是（　）A．(4，)B．(4，)C．(4，)D．(4，)5. 已知，则方程表示的平面图形是（　）6．如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（　）. B. C. D. 7.圆在点处的切线方程为（　）A． B． C． D．过点作直线与双曲线交于AB两点,使点P为AB中点,则这样的直线（　）A．存在一条,且方程为B．存在无数条C．存在两条,方程为D．不存在上到直线的距离为的点共（　）A．　　B．C．D．10.下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则（　） A．e1＞e2＞e3 B． e1＜e2＜e3 C． e1＝e3＜e2 D．e1＝e3＞e2 II卷（共80分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）11.在空间直角坐标系中，点与点的距离是 .12.经过点,且与两坐标轴的截距相等的直线方程是 . (用一般式方程表示)13某同学在四次语文单元测试中，其成绩的茎叶图如图所示，则该同学语文成绩的方差 .( 第13题图) (第14题图)14. 如上图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 .15.给出下列结论：①与圆及圆都外切的圆的圆心在一个椭圆上.②若直线与双曲线则.③经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，且,则.④抛物线上的点到直线的距离的最小值为.其中正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.(10分) 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线：相切求圆的方程；若圆上有两点关于直线对称，且，求直线的方程.17.（10分） 某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的单元测试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：后得到如图所示的频率分布直方图.若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级本次单元测试数学成绩不低于60分的人数；若从数学成绩在和两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.18.（10分）如图：已知直线与抛物线交两点，且，交于点，点的坐标为.求的值；求的面积.19.（10分）已知圆,坐标原点为.圆上任意一点在轴上的射影为点，已知向量.求动点的轨迹的方程；当时，过点S (0，－)的动直线l交于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得为直径的圆恒过点?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．附加题：20.在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)，A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝3.(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；(2)已知点A(1，t)(t>0)是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE＋kAF＝0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．,当的取值变化时，关于的方程的直线有无数条，这无数条直线形成了一个直线系，记集合{仅有唯一直线}.(1)求中点的轨迹方程；(2)设{为常数}，任取,如果的最小值为，求的值.南山中学2015级12月模拟考试 数学(理)答题卷 题号二1617181920 21总分分数二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．1． ．12． ．1． ．14． ．15． ．三、解答题：本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．得 分评卷人　　16．（本题满分分）得 分评卷人1．（本题满分分）得 分评卷人．（本题满分分）得 分评卷人．（本题满分分）得 分评卷人．（ 本题满分1分）得 分评卷人．（本题满分分）一、选择题（本大题有10个小题，每个小题给出的四个选项中只有一个正确，请把正确选项涂在机读卡上.每小题选正确得4分，共40分.）1~5：CDAAD; 6~10：BBDBC二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.）11.； 12.或； 13. 45； 14. ； 15.②④三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.解（1）直线与圆相切 == 的方程为：……………………………………………………….…(4分)（2）关于直线对称 可设所在的直线方程为：…………………………………………….(5分)到的距离为1………………………………………………………………………….(7分)即直线的方程为：…………………........…(10分)17.解:由频率分布直方图已知（1）不低于60分的学生所占的频率为：不低于60分人数为：6400.85=544（人）………………………………………………...(2分)（2）第一组的学生人数为：0.0540=2（人），记为……………………………...(3分)第六组的学生人数为：0.140=4（人），记为………………………..…..(4分)则从这两个分数段内的学生中随机选取2人所包含的基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,共15种.设“这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件事件所包含的的基本事件有：,,,,,,共7种.…………………………………………………………………………………….…….(10分)18.解（1） 又 直线的方程为.………………………………………………………………….…(1分)设,,则由…………………….…(2分)又联立方程 消可得 ①, ………………………………………………………….……….…(3分)当时，方程①成为 显然此方程有解. ……… ….…(5分)(2)法一:由 .………....…(7分).…………………………………………………………………………………………...…(8分) ………………………………….......….…(10分)法二:后面做法同法一.19.解（1）设,, 又在圆上轨迹的方程为即…………………………….………………………(4分)（2）当时，轨迹的方程为（?）当与轴平行时，以AB为直径的圆的方程为当与轴平行时，以AB为直径的圆的方程为由解得即两圆相切于点(0,1)，……………………..……………(6分)因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1)．事实上，点T(0,1)就是所求的点，证明如下：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(0,1)．若直线l不垂直于x轴，可设直线l的方程为y＝kx－，由消去y得(18k2＋9)x2－12kx－16＝0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又因为＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，所以?＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋＝(1＋k2)?－k?＋＝0，所以TATB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)，在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.…………………………………………………(10分)20.解　(1)依题意知直线A1N1的方程为：y＝(x＋2)，直线A2N2的方程为：y＝－(x－2)，设Q(x，y)是直线A1N1与A2N2交点，×②得y2＝－(x2－4)，由mn＝3，整理得＋＝1，N1，N2不与原点重合，点A1(－2,0)，A2(2,0)不在轨迹M上，轨迹M的方程为＋＝1(x≠±2)，…………………………………………………………………(3分)(2)∵点A(1，t)(t>0)在轨迹M上，＋＝1解得t＝，即点A的坐标为，设kAE＝k，则直线AE方程为：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1并整理得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0，设E(xE，yE)，F(xF，yF)，点A在轨迹M上，xE＝，yE＝kxE＋－k，又kAE＋kAF＝0得kAF＝－k，将、式中的k代换成－k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k，直线EF的斜率kEF＝＝，xE＋xF＝，xF－xE＝，kEF＝＝＝，即直线EF的斜率为定值，其值为.…………………………………………………………..………(10分)21.解(1)由题意易知，仅有唯一解所求的轨迹方程为.……………………………………………………..……………(3分)（2）设直线与轨迹相切，则由 消可得 即的最小值为.……………………………………………………………....…………………(10分)！第1页 共13页学优高考网！！南山中学2015级12月模拟考试（理科）数学试题参考答案及评分细则（仅供参考）　　　 班级 姓名 考号 — — — — — — — — — — — — — —密— — — — — — — — — —封— — — — — — — — — —线— — — — — — — — — — — — 一 11 412 6 813 2四川省绵阳南山中学2013-2014学年高二上学期12月月考试题 数学（理）
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