苏南五校联考2013-2014学年度第一学期期中考试 高 二 数 学 （文 科） 2013年11月注意事项：1．本试分填空题和解答题两部分，共160分．考试用时120分钟．2．答题前，考生务必将自己的、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．本卷考试结束后，上交答题纸．3．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．4．文字书写题统一使用05毫米及05毫米以上签字笔．5．作图题可使用2B铅笔，不需要用签字笔描摹．参考公式：棱锥的体积公式 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 球的体积公式 其中表示球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸相应位置上．1．的倾斜角 ▲ ．2．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：若mα，nα，则mn；若mα，nα，则nm；若mα，mβ，则αβ．其中正确命题有个．．已知正方体的外接球的体积是π，则正方体的棱长等于4．已知点P是圆C：x上任意一点点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆上则实数a等于．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是6．经过,且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程为 ▲ ．7．中,异面直线与所成的角为 ▲ ．8．两条平行线l6y＝5间的距离为9．m，0到定点(0,2)，(1,1)距离之和的最小值是．中，点分别在上，且，，点到的距离之比为3：2，则三棱锥和的体积比= ___▲___. 11．12．④直线A1M//平面AB1C. 13．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，分别以△的边向外作正方形与，则直线的一般式方程为 14．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是15．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0（1）求直线l的方程；求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S16．－17．，直线：；（1）求当直线与直线平行时实数的值；（2）求直线所过的定点（与的值无关的点）的坐标；（3）直线与线段（包含端点）相交，求实数的取值范围．18.（本题满分16分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CDAB， ，直线PA与底面ABCD成角60°，点MN分别是PA，PB的中点．（1）求证：MN平面PCD；MNCD是直角梯形；（3）求证：平面PCB ．19．，点．上，经过点，且与圆相切的圆的方程；（2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A(29,0)．(1)求圆弧C2的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．1． 2．2．．－10． x＋3y＝0． 7． ．． ． ． 12．13． 14．15解　(1)由 解得 .由于点P的坐标是(－2,2)．所求直线l与x－2y－1＝0垂直，可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0.把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2.所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0.(2)又直线l的方程2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别是－1与－2.则直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝×1×2＝1.∩平面BCC1B1＝BC，AD(平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1． …………………5分因为DC1(平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． …………………7分（2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD， 则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD//A1B． …………………11分因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1， 所以A1B//平面ADC1． …………………14分(证法二)取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1//平面ADC1． …………………11分因为A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1． …………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）,得：平行时……………………4分（2），………………8分（3）斜率为；；…………10分如图所示，，得或………………14分（没有图，扣2分）另解：直线与线段（包含端点）相交，则： 即，得或；18.（本题满分16分）证明：点M，N分别是PA，PB的中点MN∥AB．…………………2分CD∥AB，所以MN∥CD．又CD 平面CD， MN 平面CD，所以MN平面CD. ……5分（2）AD⊥AB，CD∥AB，CD⊥AD，又因为PD⊥底面ABCD平面ABCD，所以CD⊥PD，又，所以CD⊥平面PAD．……………8分平面PAD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．分PD⊥底面ABCD直线PA与底面ABCD成 ． …………………………12分△中，，，，．在直角梯形MNCD中，，，，，从而，所以DN⊥CN． …………………………14分△中，PD= DB=， N是PB的中点PB．……15分，所以平面PCB ．分19．解（Ⅰ）由，得 所以圆C的圆心坐标为C(-5，-5) 又圆N的圆心在直线y=x上，当两圆外切于O点时，，则有解得a=3所以圆心坐标 (3，3)，半径圆N的方程为．当两圆内切M，M点坐标为（-10，-10）因为线段AM的中点为（-5，-2），所以AM的中垂线方程为，即解方程组所求圆的圆心坐标为，故圆N的方程为．圆N的方程为．(Ⅱ)因为圆弧PQ恰为圆周的， 所以 所以点C到直线的距离为5当直线的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5直线即y轴所以此时直线的方程为x=0．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即所以解得所以此时直线的方程为所求直线的方程为x=0或．．(1)圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)．则线段AM的中垂线的方程为y－6＝2(x－17)．令y＝0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0)，又圆弧C2所在圆的半径为r2＝29－14＝15，所以圆弧C2的方程为(x－14)2＋y2＝225(x≥5)．(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得x2＋y2＋2x－29＝0.由解得x＝－70(舍)．由解得x＝0(舍)．综上知这样的点P不存在．(3)因为EF＞2r2，EF＞2r1，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d.因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0)，解法一：所以EF＝15＋＋，即＋＝18，解得d2＝.所以点O到直线l的距离为.解法二：同理科- 1 -D1B1A1D1C1B1DCBA1DCBAA（第16题图）C1B1A1DCBAO(第16题)（第16题图）C1B1A1DCBAC1M江苏省苏南五校2013-2014学年度高二第一学期期中联考数学（文）试题（有答案）
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