揭阳第一中学2013——2014学年度第一学期高二级期末考试理科数学试题一、选择题：本大题共小题，每小题5分，满分0分，在每小题给出的四个选项中，．1．若，则 ）A. B. C. D.2．已知集合，，若,则实数的所有可能取值的集合为（ ）A. B. C. D.3．设,则下列不等式一定成立的是 ( ) . A. B. C. D. 4．首项的等差数列的前n项和为，若，则取得最大值时n的值为( ).A. B.8或9 C. D.105．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．某几何体的三视图如图表1所示,则该几何体的体积为( )A． B．C． D．7．函数的图象向右平移单位后与函数的图象重合，则的解析式是（ ）A． B． C． D．8．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图表2所示，则△ABO的面积的最小值为（ ）．A.6 B.12 C.24 D.18本大题共小题，每小题5分，满分0分．9．在△ABC中，若a=3，b=，∠A=，则∠C的大小为_________10．到椭圆左焦点的距离与到定直线距离相等的动点轨迹方程是 _____ 11．已知实数满足则的最小值是 . 12．若执行图表3中的框图，输入，则输出的数等于______13．已知双曲线的两条近线的夹角为，则双曲线的离心率为＿＿＿14．曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则的面积不大于.其中所有正确的结论的序号是 .本大题共小题，分．解答写出文字说明、演算步骤．15．(本题满分12分)已知命题：使得成立.；命题：函数在区间上为减函数；（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；( 2 ) 若命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.16．（本题满分12分）设△的内角所对的边分别为,且,,.()求的值; (2)求的值.17．（本题满分14分）如图表4，在棱长为1的正方体中，点E是棱上的动点，F，G分别是的中点.（1）求证：.（2）当点E是棱上的中点时，求EF与CG所成角的余弦值.（3）当二面角达到最大时，求其余弦值. 18．（本题满分14分）数列中，.（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前n项和.（3）若对于恒成立，求的取值范围.19．（本题满分14分）已知椭圆C的方程为其焦点在x轴上，离心率.(1)求该椭圆的标准方程：(2)设动点满足其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为,求证：为定值；(3) 在(2)的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．20．(本题满分14分)已知定义域为的函数同时满足：（1）对于任意，总有；（2）；（3）若，，，则有；（Ⅰ）证明在上为增函数； （Ⅱ）若对于任意，总有，求实数的取值范围； （Ⅲ）比较与1的大小，并给与证明；揭阳第一中学2013——2014学年度第一学期高二级期末考试理科数学试题参考答案一、选择题：1~4 DDDB； 5~8 CABB二、填空题：9.； 10. ； 11. ； 12. ； 13. 或2； 14. ②③三、解答题：15. 解：（1）：成立………………………………2分 时 不恒成立……………………………………3分 由得.………………………………………6分（2）命题为真………………………………………………7分由命题“或q”为真，且“且q”为假，得命题、q一真一假…………分①当真假时，则得 ……………………分②当假真时，则 无解；…………………………………… 1分∴实数的取值范围是 ……………………………12分 解:(1)由余弦定理,得, 分又,,,所以,……………………………………4分解得,. …………………………………………………………………6分(2)在△中,,……………………………………7分 由正弦定理得 , …………………………………………9分因为,所以为锐角,所以………………………10分 因此 .………………………12分 F为BD的中点，………………1分又面ABCD，……………………………………2分，面……………………………………3分面，……………………………………4分；方法二：以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.则,,设.……………………1分则,…………………………………………2分………………………………………………………3分故……………………………………………………………………4分（2）方法一：连接.当点E是棱上的中点时为的中点，由正方体的性质知 故或其补角为异面直线EF与CG所成角中，……………………………6分在中，………………………………………7分在中，……………………………………8分故，在中，异面直线EF与CG所成角……9分；方法二：………………………………6分设异面直线EF与CG所成角，则……………………………………8分异面直线EF与CG所成角………………………………9分（3）方法一：面，………………10分故为二面角的平面角，………………………………11分当与重合时，二面角达到最大.…………………………12分此时，…………………………………………13分所以，即当二面角达到最大时其余弦值为……………………………………………………………………………14分方法二：设，面的一个法向量为由得取，则，故……………………………………11分面DCF的一个法向量为…………………………………………12分设二面角的大小为，则由图可知故，当达到最小即时，二面角达到最大，此时……………………………………………………14分18.解：（1）当为奇数时，，即因为，故当为奇数时，；…………………………1分当为偶数时，，即，故故当为偶数时，…………………………………………………………3分所以的通项公式为……………………………………4分（2）由（1）可知，当为偶数时，…………6分当为奇数时，………………8分故………………………………………………9分（3）若对于恒成立①当为偶数时，即恒成立不等式转化为，当且仅当时取等号故……………………………………………………………………11分②当为奇数时，即恒成立不等式转化为当且仅当时取等号，故当时，当时取最小值为故………………………………………………………………13分综上所述，的取值范围是.……………………………………14分19. 解：(1)由得又所以解得故椭圆的标准方程为3分(2)设则由得所以因为M、N是椭圆上，所以6分又设分别为直线OM、ON的斜率，由题意知，即 8分故即（定值） 10分 (3)由(2)知点P是椭圆上的点，因为所以该椭圆的左、右焦点满足为定值因此存在两个定点A，B，使得为定值．14分，则………………………………1分…………………………………………2分…………………………………………………………………………3分即，故在上是增函数.…………………………………4分（II）因为在上是增函数，则，故………5分当时，不等式化为，显然；…………………………6分当时，不等式化为对于恒成立.………………………………………………………………………………7分设 从而…………………………………………………………………8分综上所述，……………………………………………………9分（III）令①则②……………………………………10分由①-②得…………………………11分即…………………………13分由（I）可知……………………………14分本卷第1页（共11页）图表 0图表 0图表 0图表 0广东省揭阳一中2013-2014学年高二上学期期末数学理试题 Word版含答案
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