一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．准线为x=?2的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=?8x B．y2=8x C．x2=8y D．x2=?8y
2．设x∈R，则x＞e的一个必要不充分条件是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
3．不等式ax2+bx?2≥0的解集为 ，则实数a，b的值为（ ）
A．a=?8，b=?10 B．a=?1，b=9 C．a=?4，b=?9 D．a=?1，b=2
4．已知函数f（x）=（x?3）ex，则f′（0）=（ ）
A．2 B．?2 C．3 D．4
5．首项a1＞0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=S12，则Sn取得最大值时n的值为（ ）
A．7 B．8或9 C．8 D．10
6．椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．已知x，y∈R，则 是 的充要条件
B．当0＜x≤2时，函数y=x? 无最大值
C．∀a，b∈R，
D．∃x∈R，sinx+cosx=
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，则下列关系一定不成立的是（ ）
A．a=c B．b=c C．2a=c D．a2+b2=c2
10．已知函数f（x）=（1? ）ex，若同时满足条件：
①∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，8] B．[8，+∞） C．（?∞，0）∪[8，+∞） D．（?∞，0）∪（4，8]
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．命题“∀x∈N，x2≠x”的否定是 ．
12．在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，则∠C的大小为 ．
13．曲线f（x）=xsin x在点（ ， ）处的切线方程是 ．
14．已知函数f（x）的定义域为[1，+∞），且f（2）=f（4）=1，f′（x）是f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则不等式组 所表示的平面区域的面积是 ．
15．以下几个命题中：其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
①设A，B为两个定点，k为非零常数，| |?| |=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y?10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线；＜
③双曲线 与椭圆 有相同的焦点；
④若方程2x2?5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．已知命题p：∃x0∈R，使得 成立；命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；
（1）若命题?p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．
（Ⅰ）若 ，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范围．
18．已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l过圆x2+y2+4x?2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．
19．数列{an}满足a1=1且8an+1an?16an+1+2an+5=0（n≥1）．记 ．
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．
20．一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯
梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；
（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？
21．如图，动点M到两定点A（?1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=?2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范围．
2018-2019学年山东省淄博市高青县高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．准线为x=?2的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=?8x B．y2=8x C．x2=8y D．x2=?8y
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．
【解答】解：由题意可知： =2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上
故可设抛物线的标准方程为：y2=2px
将p代入可得y2=8x
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力．属基础题．
2．设x∈R，则x＞e的一个必要不充分条件是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
【考点】必要条件．
【专题】规律型．
【分析】根据必要不充分的定义即可得到结论．
【解答】解：当x＞1时，满足条件．
x＜1是x＞e的既不必要也不充分条件．
x＞3是x＞e的充分不必要条件．
x＜3是x＞e的既不必要也不充分条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用定义是解决本题的关键，比较基础．
3．不等式ax2+bx?2≥0的解集为 ，则实数a，b的值为（ ）
A．a=?8，b=?10 B．a=?1，b=9 C．a=?4，b=?9 D．a=?1，b=2
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由不等式ax2+bx?2≥0的解集为 ，可得 解出即可．
【解答】解：∵不等式ax2+bx?2≥0的解集为 ，
∴
解得a=?4，b=?9．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
4．已知函数f（x）=（x?3）ex，则f′（0）=（ ）
A．2 B．?2 C．3 D． 4
【考点】导数的运算．
【专题】导数的综合应用．
【分析】根据函数的导数公式直接进行求导，然后即可求f'（0）的值．
【解答】解：∵f（x）=（x?3）ex，
∴f'（x）=ex+（x?3）ex=（x?2）ex，
∴f'（0）=（0?2）e0=?2，
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则，比较基础．
5．首项a1＞0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=S12，则Sn取得最大值时n的值为（ ）
A．7 B．8或9 C．8 D．10
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式求出a1=?8d，再结合题设条件推导出Sn= ，由此利用二次函数的对称性能求出结果．
【解答】解：∵首项a1＞0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=S12，
∴ ，
解得a1=?8d，
∵a1＞0，
∴d＜0，
∴
= ，
∵d＜0，
∴Sn是一个关于n的开口向下的抛物线，
∵S5=S12，
∴由二次函数的对称性知：
当 ，即n=8或n=9时，Sn取得最大值．
故选B．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，解题时要注意二次函数性质的合理运用，是中档题．
6．椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】分类讨论；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得tan30°= ，或tan60
°= ，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：由于椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，
是一个含60°角的菱形的四个顶点，
则tan30°= ，或tan60°= ，
当 = 时，即b= c，即有a= =2c，
由e= = ；
当 = 时，即b= c，即有a= = c，
由e= = ．
可得离心率为 或 ．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
7．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．
【解答】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10
故选B
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．已知x，y∈R，则 是 的充要条件
B．当0＜x≤2时，函数y=x? 无最大值
C．∀a，b∈R，
D．∃x∈R，sinx+cosx=
【考点】特称命题．
【专题】证明题；整体思想；综合法；简易逻辑．
【分析】A利用充分条件和必要条件的定义进行判断
B利用函数的单调性进行判断
C根据基本不等式成立的条件进行判断
D根据三角函数的有界性进行判断
【解答】解：A．当x=4，y=1，满足 ，但 不成立，即 不是 的充要条件，故A错误，
B．当0＜x≤2时，函数y=x? 为增函数，则当x=2时，函数取得最大值，故B错误，
C．当a，b＜0时， 不成立，故C错误，
D．sinx+cosx= sin（x+ ）∈[? ， ]，
∵ ∈[? ， ]，∴∃x∈R，sinx+cosx= ，故D正确，
故选：D
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，函数单调性，基本不等式以及三角函数的真假判断，知识点较多，综合性较强，但难度不大．
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，则下列关系一定不成立的是（ ）
A．a=c B．b=c C．2a=c D．a2+b2=c2
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知第一个等式代入求出cosA的值，确定出A度数，再利用正弦定理化简第二个等式，求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，确定出三角形ABC形状，即可做出判断．
【解答】解：∵b2+c2?a2= bc，
∴cosA= = ，
∴A=30°，
由正弦定理化简b= a，得到sinB= sinA= ，
∴B=60°或120°，
当B=60°时，C=90°，此时△ABC为直角三角形，
得到a2+b2=c2，2a=c；
当B=120°时，C=30°，此时△ABC为等腰三角形，
得到a=c，
综上，b=c不一定成立，
故选：B．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．
10．已知函数f（x）=（1? ）ex，若同时满足条件：
①∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，8] B．[8，+∞） C．（?∞，0）∪[8，+∞） D．（?∞，0）∪（4，8]
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求导数，由①得到 ；
由②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4＜a≤8．
【解答】解：由于 ，则 =
令f
′（x）=0，则 ，
故函数f（x）在（?∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减
由于∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
当x2＞8，即 时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为 ，此时无解；
当x2≤8，即 时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为 ，解得a≤8．
又由∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点，故 解得a＞4；
故实数a的取值范围为4＜a≤8
故答案为 A
【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．命题“∀x∈N，x2≠x”的否定是 ∃x∈N，x2=x ．
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题的否定是：∃x∈N，x2=x．
故答案为：∃x∈N，x2=x．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
12．在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，则∠C的大小为 ．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．
【分析】由已知及正弦定理可得sinB= = ，由大边对大角可得0＜B＜ ，即可解得B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值．
【解答】解：∵BC=3，∠A= ，AC= ，
∴由正弦定理可得：sinB= = = ，
∵AC＜BC，由大边对大角可得：0＜B＜ ，
∴B= ，
∴C=π?A?B= ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，求B的值是解题的关键，属于中档题．
13．曲线f（x）=xsin x在点（ ， ）处的切线方程是 x?y=0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】求导函数，求出切线的斜率，再求出切点的坐标，可得切线方程．
【解答】解：∵f（x）=xsinx，
∴f′（x）=sinx+xcosx，
∴f′（ ）=1，
∵f（ ）= ，
∴曲线f（x）=xsin x在点（ ， ）处的切线方程是y? =x? ，即x?y=0．
故答案为：x?y=0．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．已知函数f（x）的定义域为[1，+∞），且f（2）=f（4）=1，f′（x）是f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则不等式组 所表示的平面区域的面积是 3 ．
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】数形结合；不等式的解法及应用．
【分析】根据函数图象，确定f（x）在[1，3）上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，结合f（2）=f（4）=1，可得一个关于x，y的二元一次不等式组，画出满足条件的可行域，根据平面图形，由面积公式可得答案．
【解答】解：由图可知，f（x）在[1，3）上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，
又f（2）=f（4）=1，f（2x+y）≤1，
所以2≤2x+y≤4，
从而不等式组为 ，作出可行域如图所示，
其面积为S=×2×4?×1×2=3．
故答案为：3
【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，函数的图象与性质，平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．
15．以下几个命题中：其中真命题的序号为 ③④ （写出所有真命题的序号）
①设A，B为两个定点，k为非零常数，| |?| |=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y?10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线；＜
③双曲线 与椭圆 有相同的焦点；
④若方程2x2?5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3．
【考点】曲线与方程．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】①根据双曲线的定义知①不正确；
②说明点（2，1）在直线3x+4y?10=0上，不满足抛物线的定义；
③双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1
大于0，即可判定；
④求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，即可判定．
【解答】解：①平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴①不正确；
②在平面内，点（2，1）在直线3x+4y?10=0上，
∴到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y?10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线，∴②不正确；
③双曲线 与椭圆 的焦点都是（± ，0），有相同的焦点，正确；
④正确方程2x2?5x+a=0的可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则 ，∴0＜a＜3，正确；
故答案为：③④．
【点评】本题通过命题真假的判定考查椭圆、双曲线抛物线的定义、性质和曲线的方程与方程的曲线等问题，是综合题目．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．已知命题p：∃x0∈R，使得 成立；命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；
（1）若命题?p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．
【解答】解：（1）∵命题p：∃x0∈R，使得 成立
∴?p：∀x∈R，ax2?2x?1≤0成立
∴①a≥0时 ax2?2x?1≤0不恒成立
②由 得a≤?1
（2）∵命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数
∴命题q为真，实数a的取值范围是：0＜a＜1
∵命题“p或q”为真，且“p且q”为假，
∴命题p、q一真一假
①当p真q假时，则 ，得实数a的取值范围，?1＜a≤0或a≥1
②当p假q真时，则 ，实数a的取值范围：无解
∴实数a的取值范围是?1＜a≤0或a≥1
【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．
（Ⅰ）若 ，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范围．
【考点】等比数列的性质；余弦定理．
【专题】综合题；等差数列与等比数列；解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用等比数列的性质，可得b2=ac，再结合余弦定理，即可求a，b，c的值；
（Ⅱ）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求角B的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac???????????????????????（2分）
∵B=60°
∴ ???????????????????????（4分）
联立方程组 ，
解得 ???????????????????????（6分）
（Ⅱ） ???????????????????????（8分）
∵a2+c2≥2ac，∴ ???????????????????????（10分）
∴0°＜B≤60°???????????????????????（12分）
【点评】本题考查等比数列的性质，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．
18．已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l过圆x2+y2+4x?2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．
【考点】椭圆的应用．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】解：（Ⅰ）由题意可知2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3， ，由此可求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k?27=0．因为A，B关于点M对称．所以 ．解得 ，由此可求出直线l的方程．
（Ⅱ）解法二：设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且 ，① ，②
由①?②得 ．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=?4，y1+y2=2，代入③得直线l的斜率为 ，由此可求出直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C
上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．
在Rt△PF1F2中， ，
故椭圆的半焦距c= ，
从而b2=a2?c2=4，
所以椭圆C的方程为 =1．
（Ⅱ）解法一：
设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．
已知圆的方程为（x+2）2+（y?1）2=5，
所以圆心M的坐标为（?2，1）．
从而可设直线l的方程为
y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得
（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k?27=0．
因为A，B关于点M对称．
所以 ．
解得 ，
所以直线l的方程为 ，
即8x?9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意）
（Ⅱ）解法二：
已知圆的方程为（x+2）2+（y?1）2=5，
所以圆心M的坐标为（?2，1）．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由题意x1≠x2且 ，① ，②
由①?②得 ．③
因为A、B关于点M对称，
所以x1+x2=?4，y1+y2=2，
代入③得 = ，
即直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为y?1= （x+2），
即8x?9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意．）
【点评】本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题，避免错误．
19．数列{an}满足a1=1且8an+1an?16an+1+2an+5=0（n≥1）．记 ．
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（法一）（I）由a1结合递推公式可求a2，a3，a4，代入 求b1，b2，b3，b4
（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列 为等比数列，进而可求bn，结合 ⇒ ，从而猜想得以证明，代入求出an•bn，进而求出前n和sn
（法二）（I） 代入递推公式可得 ，代入可求b1，b2，b3，b4
（II）利用（I）中的递推关系个构造数列 为等比数列，从而可求bn，sn
（法三）（I）同法一
（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列bn+1?bn为等比数列，仿照法一再证明猜想，根据求通项的方法求bn，进一步求sn
【解答】解：法一：
（I）a1=1，故 ； ，
故 ； ，
故 ； ，
故 ．
（II）因 ，
故猜想 是首项为 ，公比q=2的等比数列．
因an≠2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故 ．
因 ，
故 确是公比为q=2的等比数列．
因 ，故 ， ，
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = =
法二：
（Ⅰ）由 得 ，代入递推关系8an+1an?16an+1+2an+5=0，
整理得 ，即 ，
由a1=1，有b1=2，所以 ．
（Ⅱ）由 ，
所以 是首项为 ，公比q=2的等比数列，
故 ，即 ．
由 ，得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = ．
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ） 猜想{bn+1?bn}是首项为 ，
公比q=2的等比数列，
又因an≠2，故 ．
因此 =
；
= ．
因 是公比q=2的等比数列， ，
从而bn=（bn?bn?1）+（bn?1?bn?2）+…+（b2?b1）+b1=
=
= ．
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = ．
【点评】本题考查了数列的综合运用：递推关系的运用，构造等比求数列通项，累加求通项，归纳推理的运用，综合考查了考生的推理运算能力．
20．一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；
（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？
【考点】抛物线的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，一依题意可
知A，B的坐标，设出抛物线的方程，把点B代入求得p，进而可求得抛物线的方程．
（2）设等腰梯形的腰与抛物线相切于P，则可利用导函数求得P的切线的斜率，表示直线l的方程，分别令y=0和2求得x，利用梯形面积求得面积的表达式，利用基本不等式求得三角形面积的小值．
【解答】解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系
则A（?2，2），B（2，2）
设抛物线的方程为x2=2Py（P＞0），
将点B（2，2）代入得P=1
所以抛物线弧AB方程为x2=2y（?2≤x≤2）
（2）设等腰梯形的腰与抛物线相切于 ，（不妨t＞0）
则过 的切线l的斜率为y′|x=t=t
所以切线l的方程为： ，即
令y=0，得 ，
令y=2，得 ，
所以梯形面积
当仅当 ，即 时，“=”成立
此时下底边长为
答：当梯形的下底边长等于 米时，挖出的土最少．
【点评】考查待定系数法求曲线方程的知识；考查直线方程的知识；考查由函数导数或判别式法求曲线切线的知识；考查应用函数单调性或不等式求函数最值的知识；考查选择恰当参数建立数学式子研究几何图形的解析几何思维；考查根据实际选择数学模型的能力（即数学建模能力）．
21．如图，动点M到两定点A（?1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=?2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线y=?2x+m与3x2?y2?3=0（x＞1）联立，消元可得x2?4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内
可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用 ，即可确定 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0
当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）
当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，
化简可得3x2?y2?3=0
而点（2，±3）在曲线3x2?y2?3=0上
综上可知，轨迹C的方程为3x2?y2?3=0（x＞1）；
（Ⅱ）直线y=?2x+m与3x2?y2?3=0（x＞1）联立，消元可得x2?4mx+m2+3=0①
∴①有两根且均在（1，+∞）内
设f（x）=x2?4mx+m2+3，∴ ，∴m＞1，m≠2
设Q，R的坐标分别为（xQ，yQ），（xR，yR），
∵|PQ|＜|PR|，∴xR=2m+ ，xQ=2m? ，
∴ = =
∵m＞1，且m≠2
∴ ，且
∴ ，且
∴ 的取值范围是（1，7）∪（7，7+4 ）
【点评】本题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围．
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