数学理科试题
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）
1.抛物线的准线方程为（ ）
A B C D
2.下列方程中表示相同曲线的是（ ）
A ， B ，
C ， D ，
3.已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）
A B C D
4.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A B C D
5.与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A 一个椭圆上 B 双曲线的一支上 C 一条抛物线 D 一个圆上
6.点在双曲线上，且的焦距为4，则它的离心率为
A 2 B 4 C D
7.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到抛物线准线的距离为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
8．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A 1条 B 2条 C 3条 D 无数条
9．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A B 3 C D
10．以下四个关于圆锥曲线的命题中正确的个数为（ ）
①曲线与曲线有相同的焦点；
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③过椭圆的右焦点作动直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长不为定值。
④过抛物线的焦点作直线与抛物线交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
11．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A 18 B 24 C 28 D 32
12．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，则的最大值，是（ ）
A B C D
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知点在抛物线的准线上，抛物线的焦点为，则直线的斜率为 。
14．过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为
15．直三棱柱中，分别是的中点，
，则与所成角的余弦值为 。
16．设点是曲线上任意一点，其坐标均满足，则的取值范围为 。
三、解答题
17．（10分）在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离。

18．（12分）如图（1），在中，点分别是的中点，将沿折起到的位置，使如图（2）所示，M为的中点，
求与面所成角的正弦值。

19．（12分）经过椭圆的左焦点作直线，与椭圆交于两点，且，求直线的方程。

20．（12分）如图，在长方体中，，点E在棱上移动。
（1）证明：；
（2）等于何值时，二面角的余弦值为。

21.（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求

求出k的值；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点 作直线交抛物线于两点，若直线分别与直线交于两点，求的取值范围。

牡一中2018-2019上学期高二理科数学期中试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B D B A B C C B C B
13 14 15 16
16
三、解答题：
17.（10分）解：圆的方程为，圆心为；直线为，距离
18.（12分）与面所成角的正弦值为
19.（12分）解：当直线斜率不存在时，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立得，由弦长公式得，直线方程为或。
20、（12分）（2）当时，二面角的余弦值为。
21、（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，
解得，所以，
故所求椭圆C的方程为．
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
理由如下：
设点，，
将直线的方程代入，
并整理，得．（*）
则，．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以，即．
又
于是，解得，
经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．
所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
22、解：(1)(2)设，直线AB的方程为代入得，，由得，同理，所以＝，令，则，
则，范围为

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