第一、二章综合能力检测题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷非两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．点C在线段AB上，且AC→＝25AB→，若AC→＝λBC→，则λ等于(　　)
A.23　　　　　　　　　B.32
C．－23D．－32
[答案]　C
[解析]　由AC→＝25AB→知，AC→?BC→＝2?3，且方向相反，∴AC→＝－23BC→，∴λ＝－23.

2．要想得到函数y＝sinx－π3的图象，只须将y＝cosx的图象(　　)
A．向右平移π3个单位
B．向左平移π3个单位
C．向右平移5π6个单位
D．向左平移5π6个单位
[答案]　C
[解析]　∵y＝sinx－π3＝cosπ2－x－π3
＝cos5π6－x＝cosx－5π6，
∴将y＝cosx的图象向右移5π6个单位可得到
y＝sinx－π3的图象．
3．设e1与e2是不共线向量，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a∥b且a≠b，则实数k的值为(　　)
A．1
B．－1
C．0
D．±1
[答案]　B
[解析]　∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，
∴ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
∵e1与e2不共线，∴k－λ＝0λk－1＝0，∴λ＝k＝±1，
∵a≠b，∴k≠1.
[点评]　e1与e2不共线，又a∥b，∴可知1k＝k1，∴k＝±1，∵a≠b，∴k＝－1.一般地，若e1与e2不共线，a＝e1＋ne2，b＝λe1＋μe2，若a∥b，则有λ＝nμ.
4．若sinθ＝，<1，－180°<θ<－90°，则tanθ等于(　　)
A.1－2
B．－1－2
C．±1－2
D．－1－2
[答案]　B
[解析]　∵－180°<θ<－90°，
∴sinθ＝<0，tanθ>0，
故可知tanθ＝－1－2.
5．△ABC中，AB→•BC→<0，BC→•AC→<0，则该三角形为(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
[答案]　C
[解析]　由AB→•BC→<0知，∠ABC为锐角；由BC→•AC→<0知∠ACB为钝角，故选C.
6．设α是第二象限的角，且cosα2＝－cosα2，则α2所在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　C
[解析]　∵α为第二象限角，∴α2为第一或三象限角，∵cosα2＝－cosα2，∴cosα2≤0，∴选C.
7．已知点A(2，－1)，B(4,2)，点P在x轴上，当PA→•PB→取最小值时，P点的坐标是(　　)
A．(2,0)
B．(4,0)
C.103，0
D．(3,0)
[答案]　D
[解析]　设P(x,0)，则PA→＝(2－x，－1)，PB→＝(4－x,2)，PA→•PB→＝(2－x)(4－x)－2＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，当x＝3时，取最小值－3，∴P(3,0)．
8．O是△ABC所在平面内一点，且满足OB→－OC→＝OB→＋OC→－2OA→，则△ABC为(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[答案]　B
[解析]　∵OB→－OC→＝OC→＋OB→－2OA→，∴CB→＝AB→＋AC→，由向量加法的平行四边形法则知，以AB、AC为邻边的平行四边形两对角线长度相等，∴AB→⊥AC→.
9．如图是函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)一个周期的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于(　　)

A.2
B.22
C．2＋2
D．22
[答案]　A
[解析]　由图知：T＝8＝2πω，∴ω＝π4，
又A＝2，∴f(x)＝2sinπ4x，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋(5)＋f(6)＝2sinπ4＋sin2π4＋sin3π4＋sin4π4＋sin5π4＋sin6π4＝2sin3π4＝2.
[点评]　观察图象可知f(x)的图象关于点(4,0)中心对称，故f(3)＋f(5)＝0，f(2)＋f(6)＝0，又f(4)＝0，故原式＝f(1)＝2.
10．已知y＝Asin(ωx＋φ)在同一周期内，x＝π9时有最大值12，x＝4π9时有最小值－12，则函数的解析式为(　　)
A．y＝2sinx3－π6
B．y＝12sin3x＋π6
C．y＝2sin3x－π6
D．y＝12sin3x－π6
[答案]　B
[解析]　由条件x＝π9时有最大值12，x＝4π9时有最小值－12可知，A＝12，T2＝4π9－π9，∴T＝2π3，∴ω＝3，
∴y＝12sin(3x＋φ)，将π9，12代入得，
12＝12sinπ3＋φ，
∴π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π6，
取k＝0知选B.
11．设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA→＋OB→＋2OC→＝0，则△AOC的面积为(　　)
A．2
B．1
C.12
D.13
[答案]　B
[解析]　如图，以OA、OB为邻边作▱OADB，则OD→＝OA→＋OB→，结合条件OA→＋OB→＋2OC→＝0知，OD→＝－2OC→，

设OD交AB于，则OD→＝2O→，∴O→＝－OC→，
故O为C的中点，
∴S△AOC＝12S△CA＝14S△ABC＝14×4＝1.
12．已知sinα＋cosα＝713　(0<α<π)，则tanα＝(　　)
A．－512
B．－125
C.512
D．－125或－512
[答案]　B
[解析]　解法一：∵sinα＋cosα＝713，0<713<1,0<α<π，∴π2<α<π，
∴sinα>0，cosα<0，且sinα>cosα，
∴tanα<0且tanα>1，故选B.
解法二：两边平方得sinαcosα＝－60169，
∴tanαtan2α＋1＝－60169，∴60tan2α＋169tanα＋60＝0，
∴(12tanα＋5)(5tanα＋12)＝0，
∴tanα＝－125或－512，
∵0<α<π，sinα＋cosα＝713>0，∴tanα＝－125.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知扇形的圆心角为72°，半径为20c，则扇形的面积为________．
[答案]　8πc2
[解析]　∵72°＝π180×72＝2π5，∴l＝2π5×20＝8π，
S＝12l•r＝12×8π×20＝80π(c2)．
14．已知a＝(3,4)，b＝(2，)且a与b夹角为锐角，则的取值范围是________．
[答案]　>－32且≠83
[解析]　a•b＝6＋4>0，∴>－32，
又当a与b同向时，23＝4，∴＝83，
故>－32且≠83.
15．集合A＝{xkπ－π4<x<kπ＋π4，k∈Z}，B＝{xsinx>12}，则A∩B＝________.
[答案]　{xπ6＋2kπ<x<π4＋2kπ，k∈Z}∪{x3π4＋2kπ<x<5π6＋2kπ，k∈Z}
[解析]　B＝{xπ6＋2kπ<x<5π6＋2kπ，k∈Z}．
如图可求A∩B.

16．已知θ为第三象限角，1－sinθcosθ－3cos2θ＝0，则5sin2θ＋3sinθcosθ＝________.
[答案]　265
[解析]　∵1－sinθcosθ－3cos2θ＝0，
∴sin2θ－sinθcosθ－2cos2θ＝0，
∴(sinθ－2cosθ)(sinθ＋cosθ)＝0，
∵θ为第三象限角，∴sinθ＋cosθ<0，
∴sinθ＝2cosθ，∴tanθ＝2，
∴5sin2θ＋3sinθcosθ＝5tan2θ＋3tanθtan2θ＋1＝265.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知cosθ＋π2＝－12，求
cos(θ＋π)sinπ2－θcos(3π－θ)－1＋cos(θ－2π)cos(－θ)•cos(π－θ)＋sinθ＋5π2的值．
[解析]　∵cosθ＋π2＝－12，∴sinθ＝12，
原式＝－cosθcosθ(－cosθ－1)＋cosθcosθ•(－cosθ)＋cosθ
＝11＋cosθ＋11－cosθ＝2sin2θ＝8.
18．(本题满分12分)已知A(－1,2)，B(2,8)．
(1)若AC→＝13AB→，DA→＝－23AB→，求CD→的坐标；
(2)设G(0,5)，若AE→⊥BG→，BE→∥BG→，求E点坐标．
[解析]　(1)∵AB→＝(3,6)，AC→＝13AB→＝(1,2)，
DA→＝－23AB→＝(－2，－4)，
∴C(0,4)，D(1,6)，∴CD→＝(1,2)．
(2)设E(x，y)，则AE→＝(x＋1，y－2)，BE→＝(x－2，y－8)，∵BG→＝(－2，－3)，AE→⊥BG→，BE→∥BG→，
∴－2(x＋1)－3(y－2)＝0－3(x－2)＋2(y－8)＝0，∴x＝－2213y＝3213.
∴E点坐标为－2213，3213.
19．(本题满分12分)在▱ABCD中，点在AB上，且A＝3B，点N在BD上，且BN→＝λBD→，C、、N三点共线，求λ的值．
[证明]　设AB→＝e1，AD→＝e2，则BD→＝e2－e1，
BN→＝λBD→＝λ(e2－e1)，B→＝14AB→＝14e1，BC→＝AD→＝e2，
∴C→＝B→＋BC→
＝14e1＋e2，
N→＝B→＋BN→＝14e1＋λ(e2－e1)＝λe2＋14－λe1，
∵、N、C共线，∴N→与C→共线，
∵e1与e2不共线，∴14－λ14＝λ1，∴λ＝15.
20．(本题满分12分)是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx－1＋58a在闭区间0，π2上最大值为1？若存在，求出对应的a值，若不存在，说明理由．
[解析]　y＝－cos2x＋acosx＋5a8
＝－(cosx－a2)2＋a24＋5a8，
∵0≤x≤π2，∴0≤cosx≤1，
∵最大值为1，
∴(Ⅰ)0≤a2≤1a24＋5a8＝1或(Ⅱ)a2<05a8＝1或(Ⅲ)a2>1－1＋a＋5a8＝1，
由(Ⅰ)解得a＝89－54，(Ⅱ)(Ⅲ)无解，
∴a＝89－54.
[点评]　此类问题一般把cosx(或sinx)看成未知数整理为二次函数，然后由x的范围，得出cosx(或sinx)的取值范围A后，分为①A在对称轴左侧(或右侧)，用单调性讨论；②对称轴在A内，在顶点处取得最值．试一试解答下题：
是否存在实数λ，使函数f(x)＝－2sin2x－4λcosx＋10≤x≤π2的最小值是－32？若存在，求出对应的λ值，若不存在，试说明理由．
答案为λ＝58或12.
21．(本题满分12分)
(1)角α的终边经过点P(sin150°，cos150°)，求tanα.
(2)角α的终边在直线y＝－3x上，求sinα、cosα.
[解析]　(1)∵P12，－32，∴tanα＝－3212＝－3.
(2)在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝－3x，
P点到原点距离r＝x2＋y2＝10x，
当x>0时，r＝10x，∴sinα＝yr＝－3x10x＝－31010，
cosα＝xr＝x10x＝1010，
当x<0时，r＝－10x，∴sinα＝yr＝31010，
cosα＝xr＝－1010.
22．(本题满分14分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ<π2)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；

(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
[解析]　(1)由图知A＝3，34T＝4π－π4＝15π4，
∴T＝5π，∴ω＝25，∴f(x)＝3sin25x＋φ，
∵过(4π，－3)，∴－3＝3sin8π5＋φ，
∴8π5＋φ＝2kπ－π2，∴φ＝2kπ－21π10，
∵φ<π2，∴φ＝－π10，∴f(x)＝3sin25x－π10.
(2)由2kπ＋π2≤25x－π10≤2kπ＋3π2得，
5kπ＋3π2≤x≤5kπ＋4π　(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调减区间为5kπ＋3π2，5kπ＋4π　(k∈Z)．
函数f(x)的最大值为3，取到最大值时x的集合为
{xx＝5kπ＋3π2，k∈Z}．
(3)解法一：f(x)＝3sin2x5－π10
＝3cosπ2－2x5－π10＝3cos2x5－3π5
＝3cos25x－3π2，
故至少须左移3π2个单位才能使所对应函数为偶函数．
解法二：f(x)＝3sin2x5－π10的图象的对称轴方程为25x－π10＝kπ＋π2，∴x＝5kπ2＋3π2，当k＝0时，x＝3π2，k＝－1时，x＝－π，故至少左移3π2个单位．
解法三：函数f(x)在原点右边第一个最大值点为2x5－π10＝π2，∴x＝3π2，把该点左移到y轴上，需平移3π2个单位．
解法四：观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把π4，0点变为－5π4，0或把点(4π，－3)变为5π2，－3等，可知应左移3π2个单位


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