3.4 不等式的实际应用 优化训练
1．银行计划将某资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率的最小值为( )
A．5% B．10%
C．15% D．20%
解析：选B.设共有资金a元，给储户的回扣率为x，由题意，得0.1a≤0.1×0.4a＋0.35×0.6a－xa≤0.15a，解得0.1≤x≤0.15.
2．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段计算：
全月应纳税所得额税率
不超过500元的部分5%
超过500元至2000元的部分10%
超过2000元至5000元的部分15%
………
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( )
A．800～900元 B．900～1200元
C．1200～1500元 D．1500～2800元
解析：选C.分别以全月工资、薪金所得为900元，1200元，1500元，2800元计算应交纳此项税款额，它们分别为：5元，20元，70元，200元．
∵20<26.78<70，所以某人当月工资、薪金所得介于1200～1500元．
3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C.求得函数式为y＝－(x－6)2＋11，
则营运的年平均利润
yx＝－?x－6?2＋11x
＝12－(x＋25x)≤12－225＝2，
此时x＝25x，解得x＝5.
4．某公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，运费为每次4万元，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________t.
解析：设一年的总费用为y万元，
则y＝4×400x＋4x＝1600x＋4x
≥21600x?4x＝160.
当且仅当1600x＝4x，即x＝20时等号成立．
答案：20
5．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
解：设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2400m(1＋2x%)?(8－x)%
＝－1225m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)．
依题意，得y≥2400m×8%×78%，
即－1225m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知0＜x≤8，所以0＜x≤2为所求．
1．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；销售量g(t)与时间的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品日销售金额的最大值是( )
A．505元 B．506元
C．510元 D．600元
解析：选B.销售金额ω＝f(t)g(t)＝(t＋10)(－t＋35)＝－t2＋25t＋350＝－(t－252)2＋6254＋350，
当t＝12或13时，ωmax＝506.
2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个．每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为( )
A．每个95元 B．每个100元
C．每个105元 D．每个110元
解析：选A.设每个涨价x元，则所获利润y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000＝－20(x－5)2＋4500，
∴当x＝5时，y值最大．
∴涨价5元即每个售价95元能获得最大利润．
3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析：选A.设仓库到车站的距离为x千米，则y1＝k1x，y2＝k2x.
当x＝10时，y1＝2，y2＝8，
∴k1＝20，k2＝0.8.
∴y1＋y2＝20x＋0.8x≥20.8x?20x＝8.
当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时，(y1＋y2)min＝8，因此应选A.
4．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内，它的行程就超过2200 km，如果它每天的行程比原来少12 km，那么它行同样的路程就得花9天多时间，那么这辆汽车原来行程的千米数为( )
A．259＜x＜260 B．258＜x＜260
C．257＜x＜260 D．256＜x＜260
解析：选D.设原来每天行x km，
则?x＋19??8＞2200?x－12??9＜?x＋19??8，
解得256＜x＜260.
5．某债券市场常年发行三种债券，A种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B种面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C种面值为1000元，半年到期本息和为1020元．设这三种债券的年收益率分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系是( )
A．a＝c且a＜b B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．c＜a＜b
解析：选C.一年到期的年收益率分别为a＝401000＝0.04，b＝40960＝0.0416，c＝(1＋2%)2－1＝0.0404，所以a
B．先提价q%，再提价p%
C．分两次都提价 q2＋p22%
D．分两次都提价p＋q2%
解析：选C.主要考查公式21a＋1b≤ab≤a＋b2≤ a2＋b22的应用．
7．市场上常有这样一个规律：某商品价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多．现有某杂志，若定价每本10元，则可以发行20万本，若每本价格提高x元，发行量就减少12500x本．要使总收入不低于210万元，则杂志的定价范围是____________．
解析：由题意可列不等式(10＋x)(200000－12500x)≥2100000，即x2－6x＋8≤0.
∴2≤x≤4,12≤x＋2≤14，
∴杂志的定价范围是[12,14]．
答案：[12,14]
8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于(x20)2 km，问这批物资全部到达灾区，最少需要________ h.
解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了25×(x20)2＋400(km)所用的时间，因此，t＝25×?x20?2x＋400x≥2 25x400×400x＝10，当且仅当25x400＝400x，
即x＝80时取“＝”号．
答案：10
9．一服装厂生产某种风衣，月销售x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x，若月获得的利润不少于1300(元)，则该厂的月产量范围为____________．
解析：由月获利y＝(160－2x)?x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500
由－2x2＋130x－500≥1300，解得20≤x≤45.
答案：[20,45]
10．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，求至少需这样的玻璃的块数．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
解：1－110x≤13，x≥lg13lg910＝10.4.
∴至少需这样的玻璃为11块．
11．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)
解：设楼房每平方米的平均综合费用为y元，则
y＝(560＋48x)＋2160×100002000x＝560＋48x＋10800x(x≥10，x∈N＋)，
因为48x＋10800x≥248×10800＝1480，
所以y≥560＋1480＝2000，
当且仅当48x＝10800x，
即x＝15时，y取最小值2000.
所以，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
12．(2014年洛阳高二检测)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．
(1)该厂从第几年开始盈利？
(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：
①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；
②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂．问哪种方案更合算？
解：由题意知f(n)＝50n－[12n＋n?n－1?2×4]－72＝－2n2＋40n－72.
(1)由f(n)＞0，即－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n＜18，
由n∈N知，从第三年开始盈利．
(2)方案①：年平均纯利润
f?n?n＝40－2(n＋36n)≤16，
当且仅当n＝6时等号成立．
故方案①共获利
6×16＋48＝144(万元)，此时n＝6.
方案②：f(n)＝－2(n－10)2＋128.
当n＝10，f(n)max＝128.
故方案②共获利128＋16＝144(万元)．
比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．
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