2013-2014学年度下学期期中考试
高 一 年级 数学（理科）试题
考试时间： 120分钟 试题分数：150分
一、（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集 ，集合 ，则 等于 （ ）
A. B. C. D.
2．已知 ，则 （ ）
A． B．—1C．1D．0
3．函数 的零点有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4. 已知两条直线 和 互相平行，则 等于（ ）
A． 或- B． 或 C． 或 D． 或
5. 函数 ，任取一点 ，使 的概率( )
A. B. C. D.
6．函 数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到 的图像，则只要将 的图像（ ）
A．向右平移 个 单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度:学§科
7．若函数 与 在区间[1,2]上都是减函数，则 的取值范围是（ ）
A．（-1,0） B．（-1,0）∪（0,1] C．（0,1] D．（0,1）
8.函数f(x)＝sin2x＋2cosx在区间[－23π，θ]上的最大值为1，则θ的值是( )
A.0 B.π3 C.π2 D.－π2
9．已知直线 ,直线 ，则下列四个命题：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是( ).
A、①② B、③④ C、①③ D、②④
10. 设向量 ， 满足： ， ， ．以 ， ， 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为u.c.o.m （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11. 定义在R上的偶函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
12.图1是某高校参加2010年上海世博会志愿者选拔的学生身高的条形统计图，从左到右各表示学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155 内的人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在[160，180 内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）
A．i<6 B．i<7
C．i<8 D．i<9
二、题（每小题5分,共20分）
13. 函数 的最小值是 。
14. 在等边三角形ABC中,点 在线段 上，满足 ，若 ，则实数 的值是___________．
15.直线 被圆 截得弦长的最小值为 。
16．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三 棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C－AB－D的正切值为
三、解答题
17. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足( )? =0，求t的值。
18.（本小题满分12分）
设平面向量 ＝ （ m , -1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {-2,-1,1,2}．
（1）记“使得 // 成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率；
（2）记“使得 ⊥（ -2 ）成立的（ m，n ）”为事件B，求事件B发生的概率.
19.（本小题12分）
已知函数 的图象在 轴上的截距为1，在相邻两最值点 ， 上 分别取得最大值和最小值．
⑴求 的解析式；
⑵若函数 满足方程 求在 内的所有实数根之和。
20.（本小题满分12分）
如图，已知矩形 所在平面与矩形 所在平面垂直， ， =1， ， 是线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求多面体 的表面积；
（3）求多面体 的体积.
21．（本小题12分）
设 ，函数 的定义域为 且 ，
当 时有
（1）求 ；
（2）求 的值；
（3）求函数 的单调区间．
22．(本小题满分12分)
在直角坐标系 中，以坐标原点 为圆心的圆与直线： 相切。
（1）求圆 的方程；
（2）若圆 上有两点 关于直线 对称，且 ,求直线MN的方程；
（3）圆 与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使PA、PO、PB成等比数列，求 的取值范围。
高一理科数学答案详解
A卷CCAADA DDDBCC B卷CDABCA CDCBCC
-1， , ,
17.解：（1）方法一：由题设知 ，则
……2分
所以
故所求的两条对角线的长分别为 、 ……5分
（2）由题设知： =(－2,－1)， 。……7分
由( )? =0，得： ，
从而 所以 ……10分
18．解：（1）有序数组（m,n）的所有可能结果为：（-2，-2），（-2，-1），（-2，1），（-2，2），（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（-1，2），(1,-2)，（1，-1），（1，1），（1，2）,(2,-2)，（2，-1），（2，1），（2，2）共有16种. ………2分
使得 // 成立的（ m，n ）,满足：mn=-2
事件A有（-2，1），（-1，2）,（1，-2）,（2，-1）4种. ……………4分
故所求的概率为： ……………………6分
（2）使得 ⊥（ -2 ）成立的（ m，n ）满足：
即： ………9分
事件B有：（1,1）一种 ……………………………10分
故所求的概率为： …………………………………12分
19. 解：（1）依题意，得：
， …………2分
最大值为2，最小值为－2，
…………4分
图象经过 ， ，即
又 ， …………6分
（2）∵ 的周期 ，∴函数 在 上恰好是三个周期。函数 与 在在 内有6个交点。…………8分由于函数 的图象具有对称性，数形结合可知：方程 有6个实数根。且前两个根关于直线 对称，所以前两根之和1。 …………10分
再由周期性可知：中间两根之和为1+6=7，后两根之和为1+12=13………11分
所以方程 在 内的所有实数根之和为1+7+13=21。……12分
20.解：（1）连接 交 于点 ,连接 , …… 1分
在矩形 中， 为中点， , ……… 3 分
, ，
平面 . ………… 4分
（2）由题设和图形易知:
CE⊥面ABCD ， …………… 5分
………… 6分
, …7分
. ……………8分
（3）过点 在面 内作 垂直于 点 ，则 面 ，
即 的大小为四棱锥 - 的高， = = ， ………10分
= . ……………………12分
21.解：（1）对f[(x+y)/2]=f(x)sinα+(1- sinα)f(y)，
令x=1，y=0，得f(1/2)=sinα；……2分
令x=1/2，y=0，得f(1/4)=sin²α；……4分
(2)令x=1，y=1/2，得f(3/4)=2 sinα-sin²α；
令x=3/4，y=1/4，得f(1/2)=3sin²α-2 sin³α；
两个f(1/2)相等，得sinα=3sin²α-2 sin³α，结合a∈(0，π/2)可解得sinα=1/2。 ……8分
(3)
单调增区间为 ……12分
22.解：（1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离，
即 ．
得圆 的方程为 ． ………………3分
（2）由题意，可设直线MN的方程为 。
则圆心 到直线MN的距离 。 ………………4分
由垂径分弦定理得： ，即 。
所以直线MN的方程为： 或 。…………6分
（3）不妨设 ．由 得 ．
设 ，由 成等比数列，得
，即 ． …………8分
∴ =
由于点 在圆 内，故 由此得 ． …………10分
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