数 学 训 练 9
本卷满分150分，限时120分钟（2012.5）

说明：1、本卷内容包括必修5的全部内容与必修2的直线方程的点斜式之前的内容.
2、本卷可以作为1——15班的5月月考题，也可以作为16——21班的训练题.

第I卷 （ 共50分）)
一、：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1、已知 中， ，那么角 等于 ( )
（A） （B） （C） （D）
2、已知直线 过点 ，它的倾斜角是直线 的倾斜角的两倍，则直线 的方程为 ( )
（A） （B） （C） （D）
3、关于直线 以及平面 ，下面命题正确的是 （ ）
（A）若 ，则 （B）若 ，则
（C）若 ，则 （D）若 且 ，则
4、已知二面角 的大小为 ， 为异面直线，且 ，则 所成的角为 ( )
（A） （B） （C） （D）
5、在 中， ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
6、将直线 绕它上面一点 沿逆时针方向旋转 ，得到的直线方程是 ( )
（A） （B） （C） （D）
7、在家电下乡活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用是400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用是300元，可装洗衣机10台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 （ ）
（A）2000元 （B）2200元 （C）2400元 （D）2800元
8、已知 为等差数列， ， ，以 表示 的前 项和，则使得 达到最大值的 是 ( )
（A） 21 （B）20 （C）19 （D）18
9、已知等比数列 满足 且 ，则当 时， ( )
（A） （B） （C） （D）
10、如图，动点 在正方体 的对角线 上．过点 作垂直于平面 的直线，与正方体表面相交于 ．设 ， ，则函数 的图象大致是 （ ）
)

第II卷 非选择题 共100分

二、题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．)
11、已知正四面体内的一点到各面的距离和为 ，则些正四面体的棱长为 .
12、若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从－2连续变化到1时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为
13、直线 的斜率的取值范围是 .
14、《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小的一份为 .
15、若正数 使不等式 对一切正数 都成立，则 的最小值是 .

三、解答题：：（本大题共6小题，共75分．解答应写出字说明，证明过程或演算步骤．）
16、（12分）求三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的二倍的三角形的三边之长.
17、（12分）过定点 作直线 分别与 轴、y轴正向交与 两点，求使 面积最小时的直线方程.

18、（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是四边长为1的菱形， , , , 为 的中点， 为 的中点.
（1）证明：直线 ；
（2）求异面直线AB与D所成角的大小.

19、（12分）已知数列 为等差数列，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
（2）求 的值.

20、（13分）某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，由于生产需要，水池的正面的长度x不得小于 米，其容积做成 立方米，深为 米.如果池底每平方米的造价为 元，池壁每平方米的造价为 元.求
（1）把水池总造价 表示成 的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当水池正面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

21、（14分）设 是正项数列 的前 项和，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）是否存在等比数列 ，使 对一切正整数都成立？并证明你的结论；
（3）设 ，且数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小.

数学训练9参考答案
第I卷
一、选择题
1～5、 ，6～10
第II卷
二、题
11、2 12、 13、 14、 15、
三、解答题
16、设三角形的三边长分别是 ，
三个内角分别是 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得
，化简，
所以 （舍去）或 ，所以三角形的三边长分别是 .
17、设直线的方程为 ，由题意知 .
令 得， ， .令 ，得 ，
，
当且仅当 时，等号成立， ，
此时直线的方程是 ，即 .
18、法一、取OB中点E，连接E，NE，如图1，证明
法二、也可以取 的中点 ,证明平面 平面
法三、构造截线的方法.延长 交 的延长线于 ，连 证 ，如图2
（2）
为异面直线 与 所成的角（或其补角）如图3
连
在 中，由余弦定理可求得
在 ，由勾股定理可求得
在 中， ，由余弦定理得， ，
所以 与 所成角的大小为 .
19、(1) 为等差数列
，
首项
，由此得 ，
， 是以2为首项，以2为公比的等比数列.
(2)由（1）可知 ,

.
20、（1）由题意可得，
所以，
（2）
当且仅当 时取等号.
①若 时，则函数 在 上是增函数， 时， 有最小值 ；
②若 ，由均值不等式， 时， .
故当 时，正面长度为 米时，总造价最低，最低造价为 元.
当 时，侧面长度为 米时，造价最低，最低造价为 元.
21、（1）由已知， ，则 ，
两式相减，得 ，
变形， ， ， .
由已知， ， ，
是以3为首项，以2为公差的等差数列. .
（2）在 中，
令 ， 得 ，由（1）知 ， ；
令 ，得 .
…………
猜想 ，使 ，证明如下：
……………………………（1）
…………（2）
错位相减，并化简，得 ，这就是说存在 ，使得
.
(3) ,
,
故 .

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