北京市西城区（北区）2012－2013学年下学期高一期末考试数学试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1. 在数列中，，且，则等于（ ）（A）8 （B）6 （C）9 （D）72. 将一根长为3m的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1m的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）3. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）不能确定4. 若，则下列不等式中成立的是（ ）（A） （B） （） （D）5. 若实数x，y满足则的最小值是（ ）（A） （B）0 （C）1 （D）－16. 执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）（A）2（B）（C）3（D）7. 已知100件产品中有5件次品，从中任意取出3件产品，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（ ）（A）B与C互斥 （B）A与C互斥（C）任意两个事件均互斥 （D）任意两个事件均不互斥8. 口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次。则“两次取球中有3号球”的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）9. 设O为坐标原点，点A（4，3），B是x正半轴上一点，则△OAB中的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）10. 对于项数为m的数列和，记bk为中的最小值。给出下列判断：①若数列的前5项是5，5，3，3，1，则；②若数列是递减数列，则数列也一定是递减数列；③数列可能是先减后增数列；④若，C为常数，则。其中，正确判断的序号是（ ）（A）①③ （B）②④ （C）②③ （D）②二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。11. 不等式的解集为________________。12. 在△ABC中，，则a=___________。13. 某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表。已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2。则x=_____；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为____________。一班二班三班女生人数20xy男生人数2020z14. 甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图。已知甲、乙二人得分的平均数相等，则m=________；乙得分的方差等于____。15. 设是等差数列，Sn为其前n项的和。若，则_______；当Sn取得最小值时，n=__________。16. 当x∈[1，9]时，不等式恒成立，则k的取值范围是_________。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本小题满分13分）在等比数列中，。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是等差数列，且b2 =a2，b4=a4。求数列的公差，并计算的值。18. （本小题满分13分）某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 8188 67 101 103 57 91 77 86 81 8382 82 64 79 86 85 75 71 49 45（Ⅰ）完成下面的频率分布表；（Ⅱ）完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a的值；（Ⅲ）在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内的概率。分组频数频率[41，51）2[51，61）3[61，71）4[71，81）6[81，91）[91，101）[101，111）219. （本小题满分13分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知c=3，。（Ⅰ）若sinB=2sinA，求a，b的值；（Ⅱ）求a2+b2的最大值。20. （本小题满分14分）已知函数。（Ⅰ）当a=1时，求在区间[－1，2]上的值域；（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）解关于x的不等式。21. （本小题满分14分）设数列的前n项和为Sn，且。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列。（i）求数列的前n项和Tn；（ii）求bn的最大值。22. （本小题满分13分）对于数列A：a1，a2，a3（ai∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中，且。这种“T变换”记作B=T（A），继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：cl，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束。（Ⅰ）写出数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列；（Ⅱ）若a1，a2，a3不全相等，判断数列A：a1，a2，a3经过不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；（Ⅲ）设数列A：400，2，403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值。【试题答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. A 9. B 10. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，11. 12. 13. 24 914. 6，8.4 15. －11，6 16. 注：一题两空的试题，第一空2分，第二空3分：三、解答题：本大题共3小题，共36分，17. 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知， …………2分两式相除，得q=2。 …………4分所以a1=2， …………6分所以数列的通项公式。 …………7分（Ⅱ）设等差数列的公差为d，则 ………………9分解得………………11分………………12分…………13分18. 解：（Ⅰ）如下图所示。 ……………………4分（Ⅱ）如下图所示。………………6分由己知，空气质量指数在区间[71，81）的频率为，所以a= 0.02。……8分分组频数频率………[81，91）10[91，101）3………（Ⅲ）设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内”，由己知，质量指数在区间[91，101）内的有3天，记这三天分别为a，b，c，质量指数在区间[101，111）内的有2天，记这两天分别为d，e，则选取的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。基本事件数为10。………………10分事件“至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内”的可能结果为：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。基本事件数为7， ………………12分所以 ………………13分19. 解：（Ⅰ）因为sin B=2sinA，由正弦定理可得b=2a，………………3分由余弦定理c2= a2 +b2 －2abcosC， ………………5分得9=a2 +4a2 －2a2， ………………7分解得a2=3， ………………8分所以 ………………9分（Ⅱ）由余弦定理c2= a2 +b2 －2abcosC，得ab=a2+b2－9，………………10分又a2 +b2≥2ab， ………………11分所以a2+b2≤18，当且仅当a=b时，等号成立。 ………………12分所以a2+b2的最大值为18。 ………………13分20. 解：（Ⅰ）当a=l时，，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增所以，在区间上的最小值为…………2分又。所以在区间上的最大值为…………………3分在区间上的值域为…………………4分（Ⅱ）当a=0时，，在区间上是减函数，符合题意……5分当时，若函数在区间上是减函数，则，且， ……………………7分所以－1≤a－1。 ……………………10分当a>0时，，解得 ………………11分当a0时，不等式的解集为;当a=0时，不等式的解集为；当－1
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