高一数学上学期期中试卷
考试限时：120分钟 卷面满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共计50分，每题有且仅有一个答案正确．）
1．设全集U=1, 2, 3, 4, 5，集合A=1, 2, B=2, 3，则A∩CUB=（ ）
A．4，5 B．2，3 C．1 D．2
2．已知集合A=ax2-ax+1<0，若A=ф，则实数a的集合为（ ）
A．{a|03．下列对应法则f中，构成从集合P到S的映射的是（ ）
A．P=R，S=(-∞, 0), x∈P, y∈S, f：x→y=|x|
B．P=N(N是自然数集)，S=N*, x∈P, y∈S, f: y=x2
C．P=有理数，S=数轴上的点，x∈P, f: x→数轴上表示x的点
D．P=R，S=y>0, x∈P, y∈S, f: x→y=
4．已知命题p：若m>0，则关于x的方程x2+x-m=0有实根．q是p的逆命题，下面结论正确的是（ ）
A．p真q真 B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真
5．如果命题“非p或非q”是假命题，对于下列各结论（ ）
（1）命题“p且q”是真命题 （2）命题“p且q”是个假命题
（3）命题“p或q”是真命题 （4）命题“p或q”是假命题
其中正确的是（ ）
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（2）（3） D．（1）（4）
6．如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么（ ）
A．f(2) C．f(2)7．关于x的不等式ax-b>0的解集为(1, +∞)，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A．(-1, 2) B．(-∞, -1)∪(2, +∞)
C．(1, 2) D．(-∞, -2)∪(1, +∞)
8．函数y= 的单调递减区间为（ ）
A． , +∞) B． , +∞) C．(-∞, 0 D．(-∞, -
9．已知函数y=f(x)存在反函数且f(3)=0，则函数f-1(x+1)的图象点（ ）
A．(2, 0) B．(0, 2) C．(3, -1) D．(-1, 3)
10．设A、B是非空集合，定义A×B=x∈A∪B，且x A∩B，已知A=x, B=y，则A×B等于（ ）
A．[0, 1]∪(2, +∞) B．[0, 1 ∪(2, +∞)
C．[0, 1] D．[0, 2]

第Ⅱ卷
二、填空题（每小题5分，共计25分，把答案填在题中横线上．）
11．命题“a, b是实数，若|a-1|+|b-1|=0，则a=b=1”，用反证法证明时，应先假设________．
12． =____________．
13．已知集合A=1，2，集合B=x2-ax+a-1=0, A∪B=A，则实数a的值是_________．
14．若0≤x≤2，则函数y=( )x-1-4•( )x+2的值域是________________．
15．设定义域为R的函数f(x)= ，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实数解x1, x2, x3，则(x1+x2+x3)2=____________．
三、解答题（本大题共6小题，共计75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（12分）已知命题p：指数函数f(x)=(2a-6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

17．（12分）设全集U=1, 2, 集合A=x2+px+q=0, CUA=1，
（1）求p、q；
（2）试求函数y=px2+qx+15在[ ，2]上的反函数．

18．（12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资，薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过16

600元的部分应纳税，此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
超过5000元至20000元的部分 20%
………… ……
（1）上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1600元后的余额．写出月工资，薪金的个人所得税y关于工资，薪金收入x(0 （2）某人在一月份缴纳的个人所得税是85元，求他这个月的工资，薪金税后收入．

19．（12分）已知p：x2-8x-20>0, q：x2-2x+1-a2>0，若p是q的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
20．（13分）已知f(x)= ，且f(1)=3，
（1）试求a的值，并证明f(x)在[ , +∞ 上单调递增．
（2）设关于x的方程f(x)=x+b的两根为x1, x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意的b∈[2, ]及t∈[-1, 1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在说明理由．
21．（14分）对于区间[a, b]，若函数y=f(x)同时满足下列两个条件：①函数y=f(x)在[a, b]上是单调函数；②函数y=f(x)，x∈[a, b]的值域是[a, b]，则称区间[a, b]为函数y=f(x)的“保值”区间．
（1）写出函数y=x2的“保值”区间；
（2）函数y=x2+m(m≠0)是否存在“保值”区间？若存在，求出相应的实数m的取值范围；若不存在，试说明理由．


参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C A A B B D A
二、填空题
11．a, b不都等于1 12．1 13．2或3 14．[1，2] 15．9
三、解答题
16．解：若p真，则y=(2a-6)x在R上单调递减，∴0<2a-6<1, ∴3x2-3ax+2a2+1，则应满足 ，∴ ，故a> ，又由题意应有p真q假或p假q真．
i. 若p真q假，则 ，a无解．
ii. 若p假q真，则 ，∴ 若a的取值范围的集合是{a| 17．解：（1）∵U=1, 2，而∴CUA=1，∴A=2，即方程x2+px+q=0的两根均为2，由韦达定理知： ，∴ ．
（2）∵y=-4x2+4x+15=-4(x- )2+16，而 ≤x≤2, ∴7≤y≤16，∴4(x- )2=16-y, ∴x- = , ∴x= + ，故原函数的反函数是y= + (7≤x≤16)．
18．解；（1）由题设条件，得 ，化简得： ．
（2）由（1）知，当019．解：∵x2-8x-20>0, ∴(x-10)(x+2)>0, ∴x>10或x<-2，满足p的x构成的集合记为A，则A=x>10或x<-2，又x2-2x+1-a2>0，∴[x-(1-a)][x-(1+a)]>0满足q的x记为集合B．
i. 若1-a>1+a即a<0，则B=x>1-a或x<1+a，∵A B，则 ，∴a≥-3，故-3≤a<0．
ii. 若1-a=1+a即a=0，则B=x∈R且x≠0，则此时A B，∴a=0．
iii. 若1-a<1+a即a>0，则B=x，∴ ，∴a≤3，∴0 故综上所述，a的取值范围是-3≤a≤3．
法2．由题意，a20即x>10或x<-2，即当x>10或x<-2时，a2<(x-1)2恒成立，∴a2≤9，故-3≤a≤3．
20．解：（1）∵f(1)=3, ∴a=1, ∴f(x)= ，设 ≤x1(2x1+ )=2(x2-x1)+ =(x2-x1)(2- ), ∵x2>x1≥ , ∴x1x2≥x ≥ , ∴0< <2，∴2- >0又x2-x1>0，∴f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在 , +∞)上单调递增．

（2）∵f(x)=x+b, ∴x2-bx+1=0, ∴|x1-x2|= 又2≤b≤ ，∴0≤|x1-x2|≤3，故只须当t∈[-1, 1]，使m2+mt+1≥3恒成立，记g(t)=tm+m2-2，只须： ，∴ ，∴ ，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是m≥2或m≤-2．
21．解：（1）∵y=x2, ∴y≥0又y=x2在[a, b]上的值域是[a, b]，故[a, b] [0，+∞ ，∴a≥0，故y=x2在[a, b]上单调递增，故有 ，又a （2）若y=x2+m存在“保值”区间，则应有：
i. 若a ii. 若b>a≥0，则有 等价于方程x2-x=-m(x≥0)有两个不相等的根，∴-m=(x- )2- (x≥0)，由图象知：- <-m≤0, ∴0≤m< ，又∵m≠0，∴0 综上所述，函数y=x2+m存在保值区间，此时m的取值范围是0
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