j 2013届高三数学章末综合测试题（14）立体几何

一、：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1 ．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是(　　)

解析：由直观图的画法知选项C中两三角形的直观图其长度已不相等.
答案：C
2．已知几何体的三视图(如下图)，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰为3，则该几何体的表面积为(　　)

A．4π　　　　B． 3π　　　　C．5π　　　　D．6π
解析：由三视图知，该几何体为一个圆锥与一个半球的组合体，而圆锥的侧面积为π×1×3＝3π，半球的表面积为2π×12＝2π，∴该几何体的表面积为3π＋2π＝5π.
答案：C
3．已知a，b，c，d是空间中的四条直线，若a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么(　　)
A．a∥b，且c∥d
B．a，b，c，d中任意两条都有可能平行
C．a∥b或c∥d
D．a，b，c，d中至多有两条平行
解析：如图，作一长方体，从长方体中观察知C选项正确.

答案：C
4．设α、β、γ为平面，、n、l为直线，则⊥β的一个充分条件是(　　)
A．α⊥β，α∩β＝l，⊥l B．α∩γ＝，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，⊥α D．n⊥α，n⊥β，⊥α
解析：∵n⊥αn⊥β⇒α∥β⊥α⇒⊥β.
答案：D
5．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
解析：AB⊥BD，面ABD⊥面BCD，且交线为BD，则AB⊥面BCD，则面ABC⊥面BCD.同理CD⊥面ABD，则面ACD⊥面ABD，因此共有3对互相垂直的平面.
答案：C
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是(　　)
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
解析：①中两直线不一定相交，∴①错误，③命题在同一平面内成立，在空间不正确，②④正确.
答案：D
7．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下 列命题中正确的是(　　)
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
解析：∵选项A中b∥α，或b?α；选项B中a⊥β或a?β，或a∥β；选项C中a∥α，或a?α. [新 标 第 一 网
答案：D
8．已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，则侧视图的面积为(　　)
A．4 B．23 C．22 D.3
解析：左视图是长为2，宽为3的长方形，故其面积为23.
答案：B
9．若、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面 ，则以下命题的正确的是(　　)
A．若∥α，n?α，则∥n
B．若∥α，n∥α，则∥n
C．若∥α，?β，α∩β＝n，则 ∥n
D．若α∩β＝，n∥，则n∥α
解析：当∥α，n?α时，与n时可能平行，还可能异面，
∴A选项错误．
当∥α，n∥α时，与n可能平行，也可能异面， 还可能相交．∴B选项错误．
选项C即为线面平行的性质定理，∴C正确．
当α∩β＝，n∥n时，n与α可能平行，n也可能在α内.
答案：C
10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC

解析：如图，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF，∴A正确．
由图知BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE，
∴DF⊥平面PAE，∴B正确.
答案：C

11．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段N在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R－PQN的体积是(　　)
A．6 B．10
C．12 D．不确定
解析：四棱锥R－PQ N的底面积为
S＝S△PQ＋S△NP＝12PQ•AC＋12N•AC
＝12(PQ＋N)•AC＝12(1＋3)×32＝62.
其高h＝322，
VR－PQN＝13Sh＝13×62×322＝6.
答案：A
12．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成的角的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：将图形补成一个正方体如图，则PA与BD所成角等于BC′与BD所成角，即∠DBC′.在等边三角形DBC′中，∠DBC′＝60°，即PA与BD所成角为60°..

答案：C
第Ⅱ卷　(非选择　共90分)
二、题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是__________．
解析：由题意，当P点移动时，AP确定的平面与BD1垂直，∴点P应在线段B1C上．
答案：线段B1C

14．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于__________．
解析：由题意，△DAC，△DBC都是直角三角形，且有公共的斜边，所以DC边的中点到B和A的距离都等于DC的一半，所以DC边的中点是球心并且半径为线段DC长的一半．
由于DC＝DA2＋AB2＋BC2＝3，
的以球的体积V＝43π323＝92π.
答案：92π
15．已知球O的半径为1，A，B，C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为π2，则球心O到平面ABC的距离为__________．

解析：球心O与A，B，C三点构成正三棱锥O－ABC，如图所示，
已知OA＝OB＝OC＝R＝1，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝90°，
由此可得AO⊥面BOC.S△BOC＝12，S△ABC＝32.
由VA－BOC＝VO－ABC，得h＝33.
答案：33
16．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b的线段，则a＋b的最大值为__________．

解析：如图，设该棱为线段AB，其中A点在平面xOy内，点B在平面yOz内，设AB的主视图投影为BC，左视图投影为BE，俯视图投影为AD.

∴t≤4，即a+b≤4.故a+b的最大值为4.
答案：4
三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．(10分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．
(1)求证：EF∥平面ABC1D1；
(2)求三棱锥VB1－E FC的体积．
解析：(1)连接BD1，在△DD1B中，
E、F分别为D1D，DB的中点，则

EF∥D1B

(2)∵F为BD的中点，
∴CF⊥BD，
又∵CF⊥BB1，BB1∩BD＝B，∴CF⊥平面BDD1B1，
∴CF⊥平面EFB1，
且CF＝BF＝2.
∵EF＝12BD1＝3，
B1F＝BF2＋BB12＝(2)2＋22＝6，
B1E＝B1D12＋D1E2＝(22)2＋12＝3，
∴EF2＋B1F2＝B1E2，即∠EFB1＝90°，
∴VB1－EFC＝VC－B1EF＝13•S△B1EF•CF
＝13×12•EF•B1F•CF
＝13×12×3×6×2＝1.

18．(12分)如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，D是BC边的中点．
(1)求证：AB⊥A1C；
(2)求证：A1C∥平面AB1D.

解析：(1)直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AB=8，AC=6，BC=10，∴AC⊥AB，
又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，AA1∩AC=A，
∴AB⊥平面A1C，
∴AB⊥A1C.

19．(12分)如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥BE；
(2)求证：AE∥平面BFD.
解析：(1)∵平面ABCD⊥平面ABE，
平面ABCD∩平面ABE＝AB ，AD⊥AB.
∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE.
∵AD∥BC，则BC⊥AE.
又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE.
∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，
∴AE⊥BE.

(2)设AC∩BD=G，连接FG，
易知G 是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，
则BF⊥CE.而BC=BE，
∴F是EC的中点．

∴AE∥平面BFD.

20．(12分)已知四边形ABCD为矩形 ，AD＝4，AB＝2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD.
(1)求证：PF⊥FD；
(2)设点G在PA上，且EG∥面PFD，试确定点G的位置．
解析：(1)连接AF，在矩形ABCD中，
∵AD＝4，AB＝2，点F是BC的中点，
∴∠AFB＝∠DFC＝45°，
∴∠AFD＝90°，即AF⊥FD，
又∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥FD，
又∵AF∩PA＝A，
∴FD⊥面PAF，
∵PF?面PAF，
∴PF⊥FD.
(2)过E作EH∥FD交AD于 H，
则EH∥面PFD，且AH＝14AD.
过H作HG∥PD交PA于G.
则GH∥面PFD且AG＝14PA，
∴面EHG∥面PFD，
则EG∥面PFD，
从而点G满足AG＝14PA，
即G点的位置在PA上靠近A点的四等分点处．

21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB ＝2AD＝2DC＝2PD＝4(单位：c)，E为PA的中点．
(1)如图，若主视方向与AD平行．请作出该几何体的主视图并求出主视图的面积；
(2)证明：DE∥平面PBC；
(3)证明：DE⊥平面PAB.

解析：(1)主视图如右：
主视图面积S＝12×4×2＝4(c2)．
(2)设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，

22．(12分)一个多面体的直观图，正视图，侧视图如下所示，其中正视图、侧视图为边长为a的正方形．

(1)请在指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC、BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
解析：根据多面体的直观图，正视图、侧视图，得到俯视图如下

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