海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学（理科） 2012. 11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集 ，集合 ，则

2．下列函数中，在定义域内是减函数的是

3．在平面直角坐标系 中，已知 ， ， ，则 的值为

4．已知数列 的前 项和 ，则

5． 的值为

6．“ ”是“函数 在 内存在零点”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数 则不等式 的解集为

8．已知集合 ，若对于任意 ，存在 ，
使得 成立，则称集合 是“好集合”．给出下列4个集合：
① ②
③ ④
其中所有“好集合”的序号是
A．①②④B．②③C．③④D．①③④
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． ．
10．设 ， ， ，则 从大到小的顺序为 ．
11．函数 的值域为 ．
12．在 中，点 为边 的中点，若 ∥ ，且 ，
则 ．
13．已知函数 的图象由 的图象向右
平移 个单位得到，这两个函数的部分图象
如图所示，则 ．
14．数列 中，如果存在 ，使得“ 且 ”成立（其中 ， ），则称 为 的一个峰值．
（Ⅰ）若 ，则 的峰值为 ；
（Ⅱ）若 ，且 不存在峰值，则实数 的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式 成立的 的最小值．
16．（本小题满分13分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 的最小正周期及单调递减区间．

17．（本小题满分13分）
在 中， ， ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的面积．

18．（本小题满分13分）
如图所示，已知边长为 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中
米， 米．为了合理利用这块钢板，将在五边形 内
截取一个矩形块 ，使点 在边 上．
（Ⅰ）设 米， 米，将 表示成 的函数，求该函数的解析式及定义域；
（Ⅱ）求矩形 面积的最大值．

19．（本小题满分14分）
已知函数 ．
（Ⅰ）若 在 处取得极大值，求实数 的值；
（Ⅱ）若 ，直线 都不是曲线 的切线，求 的取值范围；
（Ⅲ）若 ，求 在区间 上的最大值．

20．（本小题满分14分）
已知数集 … … 具有性质P：对任意
的 ， ，使得 成立．
（Ⅰ）分别判断数集 与 是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证： … ；
（Ⅲ）若 ，求数集 中所有元素的和的最小值．

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