2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数
一、
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
2 ．（2013年高考陕西卷（理 ））设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若 , 则△ABC的形状为 (A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定
【答案】B
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津 数学（理）试题（含答案））在△ABC中, 则 = (A) (B) (C) (D)
【答案】C
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 的一个可能取值为
(A) (B) (C)0 (D)
【答案】B
5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））在 ,内角 所对的边长分别为 且 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数 ,下列结论中错误的是
(A) 的图像关于 中心对称 (B) 的图像关于直线 对称
(C) 的最大值为 (D) 既奇函数,又是周期函数
【答案】C
7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 的图象大致为
【答案】D
8 ．（2013年高考四川卷（理））函数 的部分图象如图所示,则 的值分别是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间 上单调递减的函数是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） ( )
A. B. C. D. 【答案】C 11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中 ,角 所对的边长分别为 .若
A. B. C. D.
【答案】D
12．（2013年高考湖北卷（理））将函数 的图像向左平移 个长度单位后,所得到的图像关于 轴对称,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、题
13．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）） 中, , 是 的中点,若 ,则 ________.
【答案】
14．（2013年高考新课标1（理））设当 时,函数 取得最大值,则 ______
【答案】 .
15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图 中,已知点D在BC边上,AD AC, 则 的长为_______________
【答案】
16．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 的最小正周期是_____________
【答案】
17．（2013年高考四川卷（理））设 , ,则 的值是_________.
【答案】
18．（2013年高考上海卷（理））若 ,则
【答案】 .
19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若 ,则角C的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)
【答案】
20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知 是第三象限角, ,则 ____________.
【答案】
21．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））函数 的最小正周期为___________.
【答案】
22．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在 中,角 所对边长分别为 ,若 ,则 _______
【答案】7
23．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设 的内角 所对边的长分别为 .若 ,则 则角 _____.
【答案】
24．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设 为第二象限角,若 ,则 ________.
【答案】
25．（2013年高考江西卷（理））函数 的最小正周期为 为_________.
【答案】
26．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 的最大值是_______________
【答案】5
三、解答题
27．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2 ,∠B=2∠A.
(I)求cosA的值; (II)求c的值.
【答案】解:(I)因为a=3,b=2 ,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得 .所以 .故 . (II)由(I)知 ,所以 .又因为∠B=2∠A,所以 .所以 . 在△ABC中, . 所以 .
28．（2013年高考陕西卷（理））已知向量 , 设函数 . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在 上的最大值和最小值.
【答案】解:(Ⅰ) = . 最小正周期 . 所以 最小正周期为 . (Ⅱ) . . 所以,f (x) 在 上的最大值和最小值分别为 .
29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在 中,内角 的对边分别是 ,且 .
(1)求 ; (2)设 ,求 的值.
【 答案】 由题意得
30．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数 .
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f( x)在区间 上的最大值和最小值.
【答案】
31．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））设向量
(I)若 (II)设函数
【答案】 [: 12999.co]
32．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数 ,其中常数 ;
(1)若 在 上单调递增,求 的取值范围;
(2)令 ,将函数 的图像向左平移 个单位,再向上平移1个单位,得到函数 的图像,区间 ( 且 )满足: 在 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的 中,求 的最小值.
【答案】(1)因为 ,根据题意有 (2) , 或 , 即 的零点相离间隔依次为 和 , 故若 在 上至少含有30个零点,则 的最小值为 . 33．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））设 的内角 的对边分别为 , .
(I)求
(II)若 ,求 .
【答案】 34．（2013年高考四川卷（理））在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 , ,求向量 在 方向上的投影.
【答案】解: 由 ,得 , 即 , 则 ,即 由 ,得 , 由正弦定理,有 ,所以, . 由题知 ,则 ,故 . 根据余弦定理,有 , 解得 或 (舍去). 故向量 在 方向上的投影为
35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ 的内角 所对的边分别为 ,且 , , .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 的值.
【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理 ,得 , 又 , , ,所以 ,解得 , . (Ⅱ)在△ 中, , 由正弦定理得 , 因为 ,所以 为锐角,所以 因此 .
36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））已知函数 的最小正周期为 .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)讨论 在区间 上的单调性.
【答案】解: (Ⅰ) .所以 (Ⅱ) 所以
37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题 （纯WORD版））已知函数 的周期为 ,图像的一个对称中心为 ,将函数 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移 个单位长度后得到函数 的图像.
(1)求函数 与 的解析式;
(2)是否存在 ,使得 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 的个数;若不存在,说明理由.
(3)求实数 与正整数 ,使得 在 内恰有2013个零点.
【答案】解:(Ⅰ)由函数 的周期为 , ,得 又曲线 的一个对称中心为 , 故 ,得 ,所以 将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)后可得 的图象,再将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 (Ⅱ)当 时, , 所以 问题转化为方程 在 内是否有解 设 , 则 因为 ,所以 , 在 内单调递增 又 , 且函数 的图象连续不断,故可知函数 在 内存在唯一零点 , 即存在唯一的 满足题意 (Ⅲ)依题意, ,令 当 ,即 时, ,从而 不是方程 的解,所以方程 等价于关于 的方程 , 现研究 时方程解的情况 令 , 则问题转化为研究直线 与曲线 在 的交点情况 ,令 ,得 或 当 变化时, 和 变化情况如下表
当 且 趋近于 时, 趋向于 当 且 趋近于 时, 趋向于 当 且 趋近于 时, 趋向于 当 且 趋近于 时, 趋向于 故当 时,直线 与曲线 在 内有无交点,在 内有 个交点; 当 时,直线 与曲线 在 内有 个交点,在 内无交点; 当 时,直线 与曲线 在 内有 个交点,在 内有 个交点 由函数 的周期性,可知当 时,直线 与曲线 在 内总有偶数个交点,从而不存在正整数 ,使得直线 与曲线 在 内恰有 个交点;当 时,直线 与曲线 在 内有 个交点,由周期性, ,所以 综上,当 , 时,函数 在 内恰有 个零点
38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WO RD版含附加题））本小题满分14分.已知 , .
(1)若 ,求证: ;(2)设 ,若 ,求 的值.
【答案】解:(1)∵ ∴ 即 , 又∵ , ∴ ∴ ∴ (2)∵ ∴ 即 两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴
39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知函数 , .
(Ⅰ) 求 的值; (Ⅱ) 若 , ,求 .
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) 因为 , ,所以 , 所以 , 所以 .
40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数 .
(I)若 是第一象限角,且 .求 的值;
(II)求使 成立的x的取值集合.
【答案】解: ( I) . (II)
41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径.一种是从 沿直线步行到 ,另一种是先从 沿索道乘缆车到 ,然后从 沿直线步行到 .现有甲.乙两位游客从 处下山,甲沿 匀速步行,速度为 .在甲出发 后,乙从 乘缆车到 ,在 处停留 后,再从匀速步行到 .假设缆车匀速直线运动的速度为 ,山路 长为 ,经测量, , .
(1)求索道 的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
【答案】解:(1)∵ , ∴ ∴ , ∴ 根据 得 (2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则 ∴ ∵ 即 ∴ 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理 得 () 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(),还需走710 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则 ∴ ∴ ∴为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟,乙步行的速度应控制在 范围内 法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260, 知:AB=52k=1040. (2)设乙出发x分钟后到达点, 此时甲到达N点,如图所示. 则:A=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:N2=A2+AN2-2 A•ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中0≤x≤8,当x=3537 (in)时,N最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC=500,甲到C用时:126050 =1265 (in). 若甲等乙3分钟,则乙到C用时:1265 +3=1415 (in),在BC上用时:865 (in) . 此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043 /in. 若乙等甲3分钟,则乙到C用时:1265 -3=1115 (in),在BC上用时:565 (in) . 此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514 /in. 故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514 ]范围内.
42．（2013年高考湖北卷（理））在 中,角 , , 对应的边分别是 , , .已知 .
(I)求角 的大小;
(II)若 的面积 , ,求 的值.
【答案】解:(I)由已知条件得: ,解得 ,角 (II) ,由余弦定理得: ,
43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））△ 在内角 的对边分别为 ,已知 . (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若 ,求△ 面积的最大值.
【答案】
44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA
【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC= ,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得 = = ,∴PA= ; (Ⅱ)设∠PBA= ,由已知得,PB= ,在△PBA中,由正弦定理得, ,化简得, , ∴ = ,∴ = .
45．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4 分,第二小题满分9分. 在平面直角坐标系 中,点 在 轴正半轴上,点 在 轴上,其横坐标为 ,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记 , .
(1)若 ,求点 的坐标;
(2)若点 的坐标为 ,求 的最大值及相应 的值.
[解](1)
(2)
【答案】[解](1)设 ,根据题意, .由 ,知 , 而 , 所以 ,解得 或 . 故点 的坐标为 或 . (2)由题意,点 的坐标为 , . . 因为 ,所以 , 当且仅当 ,即 时 等号成立. 易知 在 上为增函数, 因此,当 时, 最大,其最大值为 .
46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA- sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围
【答案】解:(1)由已知得 即有 因为 ,所以 ,又 ,所以 , 又 ,所以 . (2)由余弦定理,有 . 因为 ,有 . 又 ,于是有 ,即有 .
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