中山市2013—2014学年度第一学期期末统一考试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． DAAD BCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9. ;10. 11. ; 12. ；13. 45；14. 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．本题满分12分设平面向量，，函数。（Ⅰ）求函数的值域和函数的单调递增区间;（Ⅱ）当,且时,求的值.15．解： 依题意………（2分） ………………………………………………（4分）（Ⅰ） 函数的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函数的单调增区间为.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因为所以得,………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）16(本题满分12分)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望． 16. 解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分）众数的估计值为75分 ……………（5分）所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分）（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 ……………（8分）随机变量的可能取值为0、1、2、3，则有．∴∴变量的分布列为：0123P …………（10分） …………（12分） 解法二. 随机变量满足独立重复试验,所以为二项分布, 即………（10分） …………（12分）17（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，，.是的中点，（Ⅰ）求证：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值17解法一：（Ⅰ），，. 2分, . 而, 平面. ………………………（4分. ………………………（5分（Ⅱ）连结、，取中点， 连结 ， 则, ∵平面， ∴平面.过作交于，连结，则 就是二面角所成平面角. ………………………7分由，则.在中， 解得.因为是的中点，所以. ………………………8分而，由勾股定理可得. ………………………9分. ………………………（10分（Ⅲ）延长，过作垂直于，连结，又∵，∴⊥平面， 过作垂直于， 则, 所以平面, 即平面，所以在平面内的射影是，是直线与平面所成的角.………………………12分. ..……………（14分解法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0) , (2，0，0), (2，4，0) , (0，4，0) ，(0，2，1) , (0，0，2) . ……………………2分∴＝(2，0，0) , ＝(0，4，0) , ＝(0，0，2) , ＝(－2，0，0) ,＝(0，2，1) , ＝(2，4，0) . 　　 ……………………3分（Ⅰ）, .又, . 　 ………………………5分, , 而,∴平面⊥平面.　………7分（Ⅱ）设平面的法向量=,令，则.由即∴=. ………………………（9分平面的法向量＝(0，0，2) , .所以二面角所成平面角的余弦值是. ……………………（11分（Ⅲ）因为平面的法向量是=，而＝(－2，0，0) . 所以 . ………………………（13分 直线与平面所成角的正弦值 . ………………………（14分18．（本小题满分14分） 数列{}的前n项和为，．（I）设，证明：数列是等比数列；（II）求数列的前项和；（Ⅲ）若，数列的前项和，证明：．18．【解析】I）因为，所以 ① 当时，，则，………………………………（1分② 当时，，……………………2分所以，即，所以，而，……………………（3分所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．…………4分（II）由(1)得．所以 ①，②，……………（5分②-①得：，……………（7分 .……………（9分（III）由(I)知……………（10分（1）当时，成立；……………（11分（2）当时，，，………………13分所以. ………14分（本题放缩方法不唯一,请酌情给分19. 已知函数，.（I）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（II）设函数，求证：19. 解:（Ⅰ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．………1分由得．①当时，．此时在上单调递增． 故，符合题意．…3分②当时，．当变化时的变化情况如下表：……………………（4分单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．………………（7分（Ⅱ），又， ……………………（10分， ……………………（12分由此得:故成立. ………………14分20．本题满分14分已知函数，（其中为常数）；（I）如果函数和有相同的极值点，求的值；（II）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．（III）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．20．解：（I），则，令，得或，而在处有极大值，∴，或；综上：或．………………………………（3分（II）假设存在，即存在，使得，当时，又，故，则存在，使得，………………………………（4分 当即时，得，；………………………………（5分 当即时，得，………6分无解；综上：．………………………………（7分（III）据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．（?）有2个不同的实根，只需满足；………………………………8分（?）有3个不同的实根，当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；………………………………9分当即时，不符合题意，舍；当即时，在处取得极大值，；所以；………………………………（10分因为（?）（?）要同时满足，故；（注：也对）…………………11分下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；若存在使得，由，即，得，当时，，不符合，舍去；当时，既有 ①；又由，即 ②； 联立①②式，可得；而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当时，函数有5个不同的零点． ………………………14分！第4页 共12页学优高考网！！PBEDCAPBEDCAOFGHPBEDCAxyz广东省中山市2014届高三上学期期末考试（数学理）扫描版
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