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广东省中山市2014届高三上学期期末考试(数学理)Word版

编辑: 路逍遥 关键词: 高三 来源: 记忆方法网
试卷说明:

中山市2013—2014学年度第一学期期末统一考试本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1、答卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。一选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数,,则在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设全集是实数集则图中阴影部分所表示的集合是 ( ) A.B. C.D.3.已知向量,,若∥,则等于( )A.B.C.D.4.定义某种运算,运算原理如图所示,则式子的值为( )A.4B.8C.11D.135.把边长为的正方形沿对角线折起,使得平面平面,形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为 ( )A. B. C. D. .下列四个命题中,正确的有①两个变量间的相关系数越小,说明两变量间的线性相关程度越低;②命题:“,”的否定:“,”;③用相关指数来刻画回归效果,若越大,则说明模型的拟合效果越好;④若,,,则.A.①③④B.①④C.③④D.②③.对、,运算“”、“”定义为:=,=,则下列各式其中不恒成立的是( )  ⑴⑵⑶⑷A.⑴、⑶B.⑵、⑷C.⑴、⑵、⑶D.⑴、⑵、⑶、⑷ 8. 已知函数满足,且时,,则当时,与的图象的交点个数为( )A.13B.12C.11D.10二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.9.已知函数,则 . 10.如图,一不规则区域内,有一边长为米的正方形,向区域内随机地撒颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.(用分数作答)11.在二项式的展开式中,含的项的系数是 .12.已知,,则 .13.已知数列为等差数列,若,,则 .14.如图, ,且,若,(其中),则终点落在阴影部分(含边界)时,的取值范围是 . 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.本题满分12分设平面向量,,函数.求函数的值域和函数的单调递增区间;当,且时,求的值.16.本题满分12分某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.估计这次测试数学成绩的平均分和众数;假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为,求的分布列及数学期望. 17.(本小题满分14分)如图,在底面是矩形的四棱锥中,⊥平面, ,.是的中点,(Ⅰ)求证:平面⊥平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值18.(本小题满分14分) 数列{}的前n项和为,.(Ⅰ)设,证明:数列是等比数列;求数列的前项和;(Ⅲ)若,数列的前项和,证明:.19(本小题满分14分)已知函数,.(Ⅰ)若,且对于任意恒成立,试确定实数的取值范围;设函数,求证:20.本题满分14分已知函数,(其中为常数);(Ⅰ)如果函数和有相同的极值点,求的值;设,问是否存在,使得,若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.(Ⅲ)记函数,若函数有5个不同的零点,求实数的取值范围.中山市2013—2014学年度第一学期期末统一考试一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. DAAD BCBC二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.9. ;10. 11. ; 12. ;13. 45;14. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.本题满分12分设平面向量,,函数。(Ⅰ)求函数的值域和函数的单调递增区间;(Ⅱ)当,且时,求的值.15.解: 依题意………(2分) ………………………………………………(4分)(Ⅰ) 函数的值域是;………………………………………………(5分)令,解得………………(7分)所以函数的单调增区间为.……………………(8分)(Ⅱ)由得,因为所以得,………………………(10分)……………………………………………………………………(12分)16.(本题满分12分)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(I)估计这次测试数学成绩的平均分;(II)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为,求的分布列及数学期望. 16. 解:(I)利用中值估算抽样学生的平均分:45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………(3分)众数的估计值为75分 ……………(5分)所以,估计这次考试的平均分是72分. ……………(6分)(注:这里的众数、平均值为估计量,若遗漏估计或大约等词语扣一分)(II)从95, 96,97,98,99,100中抽2个数的全部可能的基本结果数是,有15种结果,学生的成绩在[90,100]段的人数是0.005×10×80=4(人),这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是,两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 ……………(8分)随机变量的可能取值为0、1、2、3,则有.∴∴变量的分布列为:0123P …………(10分) …………(12分) 解法二. 随机变量满足独立重复试验,所以为二项分布, 即………(10分) …………(12分)17(本小题满分14分)如图,在底面是矩形的四棱锥中,⊥平面,,.是的中点,(Ⅰ)求证:平面⊥平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值17解法一:(Ⅰ),,. ---------------------------------------------------------------------------------(2分, . 而, 平面. ………………………(4分. ………………………(5分(Ⅱ)连结、,取中点, 连结 , 则, ∵平面, ∴平面.过作交于,连结,则 就是二面角所成平面角. ………………………7分由,则.在中, 解得.因为是的中点,所以. ………………………8分而,由勾股定理可得. ………………………9分. ………………………(10分(Ⅲ)延长,过作垂直于,连结,又∵,∴⊥平面, 过作垂直于, 则, 所以平面, 即平面,所以在平面内的射影是,是直线与平面所成的角.………………………12分. ..……………(14分解法二:以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为 轴建立空间直角坐标系,则(0,0,0) , (2,0,0), (2,4,0) , (0,4,0) ,(0,2,1) , (0,0,2) . ……………………2分∴=(2,0,0) , =(0,4,0) , =(0,0,2) , =(-2,0,0) ,=(0,2,1) , =(2,4,0) .    ……………………3分(Ⅰ), .又, .   ………………………5分, , 而,∴平面⊥平面. ………7分(Ⅱ)设平面的法向量=,令,则.由即∴=. ………………………(9分平面的法向量=(0,0,2) , .所以二面角所成平面角的余弦值是. ……………………(11分(Ⅲ)因为平面的法向量是=,而=(-2,0,0) . 所以 . ………………………(13分 直线与平面所成角的正弦值 . ………………………(14分18.(本小题满分14分) 数列{}的前n项和为,.(I)设,证明:数列是等比数列;(II)求数列的前项和;(Ⅲ)若,数列的前项和,证明:.18.【解析】I)因为,所以 ① 当时,,则,………………………………(1分② 当时,,……………………2分所以,即,所以,而,……………………(3分所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.…………4分(II)由(1)得.所以 ①,②,……………(5分②-①得:,……………(7分 .……………(9分(III)由(I)知……………(10分(1)当时,成立;……………(11分(2)当时,,,………………(13分所以. ………14分本题放缩方法不唯一,请酌情给分19. 已知函数,.(I)若,且对于任意恒成立,试确定实数的取值范围;(II)设函数,求证:19. 解:(Ⅰ)由可知是偶函数.于是对任意成立等价于对任意成立.………1分由得.①当时,.此时在上单调递增. 故,符合题意.…3分②当时,.当变化时的变化情况如下表:……………………(4分单调递减极小值单调递增由此可得,在上,.依题意,,又.综合①,②得,实数的取值范围是.………………(7分(Ⅱ),又, ……………………(10分, ……………………(12分由此得:故成立. ………………14分20.本题满分14分已知函数,(其中为常数);(I)如果函数和有相同的极值点,求的广东省中山市2014届高三上学期期末考试(数学理)Word版
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