2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题 命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3参考公式：柱体的体积公式：V柱体=，其中S是柱体的底面积，h是高． 直棱柱的侧面积公式：S直棱柱侧=ch，其中c是直棱柱的底面周长，h是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合，，则2．若复数（为虚数单位），则3．已知双曲线的离心率为，．，2；，3；，4；，5；，4；，2上的频率是 ▲ ．5．如所示图则后输出的等于．，若，则的值为 ▲ ．7．( ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ▲ ．8．从甲乙丙丁4人中人，则甲乙的概率为．，，则的值为 ▲ ．10．的前项和为，若，，，则正整数= ▲ ．11．已知正数满足，则的最小值为12．，设∥，若，则的值为 ▲ ． 13．已知函数恰两个零点，则实数的取值范围为14．中，已知点内过点且交圆于两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围为6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设． （1）求的最小正周期和值域在中角的对边分别为且，，求．16．（本小题满分14分）如图，三棱柱中，侧面为菱形， 且，是的中点．1）求证平面平面求证∥平面．17．（本小题满分14分）一个圆柱形圆木底面半径为，长为圆木沿轴剖成两个部分一部分加工成四棱柱木底面为等腰梯形在半圆上），设，木3），表面积为S（单位：m2）．θ的函数表达式；（2）求的值，使体积最大当木的体积最大时，其表面积是否也最大18．（本小题满分16分）如图，中，已知，是椭圆上不同的三点，，在第三象限，线段的中点在直线上．（1）求椭圆方程；求；在椭圆上异于，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．19．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列，且对一切都成立．λ = 1，求数列的通项公式； （2）求λ的值，使数列是等差数列．20．（本小题满分16分）已知函数，其中均为实数．的极值；（2）设，若对任意的，恒成立，求，若对任意给定的，在上总存在，使 成立，求的取值范围．2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一） 数学Ⅱ（附加题） 命题单位：常州市教育科学研究院 2014．321．【选做题】在A、B、C、D 10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4―1：几何证明选讲如图为四边形的外接，且，是延长线上一点，直线与圆相切．求证：．4―2：矩阵与变换 已知，，计算4―4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．．D．选修4―5：不等式选讲 已知，若函数的图象恒在轴上方，求的取值范围．22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分） 甲乙两个同学进行投篮游戏，已知他们一次投篮中的概率均为甲同学决定投次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．求至少有次投中的概率求投篮次数的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设，，其中当为偶数时，当为奇数时，．证明：当时，记，求的值．2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 2． 3. 4 4. 5．63 6．2 7． 8. 9． 10．13 11．9 12． 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解==． …………………3分所以的最小正周期为分值域为分由得为锐角，，∴． …………………9分，，∴． …………………10分． …………………12分． …………………14分16．（1）证明 为菱形，且，为正三角形分是的中点，． ∵，是的中点 ． …………………4分，平面分平面，平面平面分证明连结，连结∵三棱柱侧面是平行四边形，为中点分中，又∵是的中点，∥． …………………12分平面，平面， ∥平面分17解的面积=，． …………………2分体积分．令，得，或，∴． …………………5分时，，为增函数时，，为减函数分时体积最大8分木的面积，． =，．…………………10分设．∵，当时，最大12分又由知时，取最大值，所以时木的表面积最大13分综上，当木的体积最大时，其表面积也最大14分18解由， 解得分所以椭圆的方程为3分，则中点为直线的方程为，．① 又∵点在椭圆上，．② 由①②，解得（舍），，从而． …………………5分所以点的坐标为6分，，．∵三点共线，∴，整理，得．…………………8分三点共线，∴，整理，得．…………………10分在椭圆上，，． 从而． …………………14分所以15分为定值，定值为． …………………16分19．解：（1）若λ = 1，则，．又∵， ∴， ………………… 2分∴， 化简，得．① ………………… 4分∴当时，．②② ( ①，得，∴（）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， ，∴n = 1时上式也成立，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n(1（）． …………………8分（2）令n = 1，得．令n = 2，得． ………………… 10分要使数列是等差数列，必须有，解得λ = 0． ………………… 11分当λ = 0时，，且．当n≥2时，，整理，得，， ………………… 13分从而，化简，得，所以． ……………… 15分综上所述，（），所以λ = 0时，数列是等差数列． ………………… 16分20．解：（1），，得x = 1． ………………… 1分列表如下：x（(∞，1）1（1，(∞）(0(g(x)?极大值?∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值． …………………3分（2）当时，，．∵在恒成立在上为增函数设，> 0在恒成立在上为增函数设则等价于，． 设，在为减函数在上恒成立恒成立设=，x([3，4]，∴，∴
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