中山市—学年度第一学期期末统一考试本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设复数，，则在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设全集是实数集,,则（ ） A．B． C．D．3．已知向量，，若∥，则等于( )A．B．C．D．4．已知数列为等差数列，若，，则A．36B．42C．45D．635．在某次测量中得到的样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据,则,两样本的下列数字特征对应相同的是（　 ）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差6．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）A. B． C．D．7．如图，定义某种运算，运算原理如右图所示，则式子的值为（ ）A．11 B．13C．8D．48．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（ ）A．B．C．D．69已知函数满足，且时，，则当时，与的图象的交点个数为( )A．B．C．D．10．对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（ ）⑴⑵⑶⑷A．⑴、⑶B．⑵、⑷C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑶、⑷二、填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分11. .12．已知函数，则 .13．若变量满足线性约束条件，则的最大值为________．14．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是 . 三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．本题满分12分设平面向量，，函数。求函数的值域和函数的单调递增区间;当,且时,求的值.16本题满分12分某学校餐厅新推出四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率. 17本题满分14分如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于,四边形ABCD是正方形，EO⊥AB.（Ⅰ）（Ⅱ）18．（本小题满分14分） 数列{}的前n项和为，．（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；19.（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，求证：20. （本小题满分14分） 已知函数，，，其中，且.（Ⅰ）当时，求函数的最大值； （Ⅱ）求函数的单调区间；（III）设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.中山市—学年度第一学期期末统一考试本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． DAAD CBBCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．11. ; 12．; 13. ; 14. 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．本题满分12分设平面向量，，函数。（Ⅰ）求函数的值域和函数的单调递增区间;（Ⅱ）当,且时,求的值.15．解： 依题意………（2分） ………………………………………………（4分）（Ⅰ） 函数的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函数的单调增区间为.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因为所以得,………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）16．（本题满分12分某学校餐厅新推出四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：满意一般不满意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率. 解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人， 其中选A款套餐的学生为40人， 由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了 份. …………….设事件=“同学甲被选中进行问卷调查”， 则 . ……………………………………………………….（5分）答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是. …………….6分）（II）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ………………………….（7分）记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d. ………………………………………………….8分）设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ………………………10分）则. ………………………………………………………（12分）17．本题满分14分如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于, 四边形ABCD是正方形.（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）AE下底面，又下底面，…………………………….3分又截面ABCD是正方形，所以⊥，又⊥面，又面，……………………………（7分）（Ⅱ）（Ⅰ）⊥面面⊥面面面面，面，即EO就是的边长为, 则，又，为直径，即在中，, 即，……………………………………………………………（12分）18.（本小题满分14分）数列{}的前n项和为，．（I）设，证明：数列是等比数列；（II）求数列的前项和；（Ⅲ）若，．求不超过的最大整数的值。1．【解析】(1) 因为，所以 ① 当时，，则，………………………………（2分② 当时，，…………………分所以，即，所以，而，……………………（6分所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．………分（2）由(1)得．所以 ①，②，……………（9分②-①得：，……………（12分. ………………（14分19．（本小题满分14分） 已知函数，.（I）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（II）设函数，求证：19. 解:（Ⅰ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．………1分由得．①当时，．此时在上单调递增． 故，符合题意．3分②当时，．当变化时的变化情况如下表：………………………（4分单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．……………………（7分（Ⅱ），又， …………………………………………………………………10分， ……………………………………………12分由此得:故成立. …………………14分20．已知函数，，，其中，且.⑴当时，求函数的最大值； ⑵求函数的单调区间；⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.解：⑴当时， ∴令，则， ∴在上单调递增，在上单调递减∴ ………………………4分⑵，，（）∴当时，，∴函数的增区间为，当时，，当时，，函数是减函数；当时，，函数是增函数。综上得，当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为 ………10分 ⑶当，在上是减函数，此时的取值集合；当时，，若时，在上是增函数，此时的取值集合；若时，在上是减函数，此时的取值集合。对任意给定的非零实数，①当时，∵在上是减函数，则在上不存在实数（），使得，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴；②当时，在时是单调函数，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴。综上得，实数的取值范围为。 ……………14分高三数学（文科） 第4页（共4页）高三数学（文科）答案 第7页（共7页）满意一般不满意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%广东省中山市高三级—学年度第一学期期末统一考试（数学文）试题
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