河北省邯郸市武安三中届高三（上）第一次摸底
数学试卷（文科）
一、：本大题共12小题。每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1 ．已知集合 ,集合 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
2 ．已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)= （ ）
A．5-5iB．7-5iC．5+5iD．7+5i
3 ．集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
4 ．双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）
A． B． C．1D．
5．命题“对任意 ,都有 ”的否定为 （ ）
A．对任意 ,使得 B．不存在 ,使得
C．存在 ,都有 D．存在 ,都有
6．已知数列 满足 （ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图,若输入 （ ）
A． B． C． D．
8．直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A．1B．2C．4D．
9．函数 的图象大致为（ ）
10．设 的内角 所对边的长分别为 ,若 ,则角 =（ ）
A． B． C． D．
11．一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（ ）
A．200+9πB．200+18π
C．140+9πD．140+18π
12．设函数 .
若实数a, b满足 , 则
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．题：本大题共四小题，每小题5分。
13．若非零向量 满足 ,则 夹角的余弦值为_______.
14．若 满足约束条件 则 ____________.
15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 , 则正方体的棱长为 ______.
16．函数 的图像向右平移 个单位后，与函数 的图像重合，则 ___________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
等差数列 中,
(I)求 的通项公式; (II)设
18（本小题满分共12分）
某小组共有 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)
如下表所示:
ABCDE
身高1.691.731.751.791.82
体重指标19.225.118.523.320.9
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率
19.（本小题满分12分）如图,四棱锥 的底面 是边长为2的菱形, .已知 .
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若 为 的中点,求三菱锥 的体积.
20．（本小题满分共12分）
已知函数
(I)求
(II)若
21．(本小题满分12分)
椭圆C: =1(a>b>0)的离心率 ，a+b=3
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点，设BP的斜率为k，N的斜率为，证明2-k为定值。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22． (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲
如图， ， 分别为△ 的边 ， 上的点，且不与△ 的顶点重合。已知 的长为 ， 的长为 ， ， 的长是关于 的方程 的两个根。
（Ⅰ)证明： ， ， ， 四点共圆；
（Ⅱ）若∠ ，且 ， ，
求 ， ， ， 所在圆的半径。
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 是 上的动点， 点满足 ， 点的轨迹为曲线 。
（Ⅰ)当求 的方程；
（Ⅱ）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 的异于极点的交点为 ，与 的异于极点的交点为 ，求 。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数 ，其中 。
（Ⅰ)当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若不等式 的解集为 ，求 的值。
河北省邯郸市武安三中届高三（上）第一次摸底
数学试卷（文科）答案
一、：
1、D 2、C 3、C 4．B 5、D
6．C 7．A 8．C 9．D 10．B
11．A 12．A
二．题：．
13．? ．
14． 0 ．
15． ．
16． ．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（I）设等差数列{an}的公差为d
∵a7=4，a19=2a9，
∴
解得，a1=1，d=
∴ =
（II）∵ = =
∴sn=
= =
18．解答：（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p= ；
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，
19．解答：解：（I）连接AC交BD于O，连接PO
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中点
∵△PBD中，PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD
∵PO、AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD；
（II）∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴BO= AB=1，AC= =2 ，可得△ABC的面积为S= AC×BO=
∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中线PO= BD=
因此，△PAO中AO2+PO2=6=PA2
∴PO⊥AC，结合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，
得到三棱锥P?ABC的体积VP?ABC= ×S△ABC×PO= =1
∵E为PA中点，∴E到平面ABC的距离d= PO=
由此可得三棱锥E?ABC的体积VE?ABC= ×S△ABC×d= × =
因此，三棱锥P?BCE的体积VP?EBC=VP?ABC?VE?ABC= ．
20．解：（I）当a= 时，f（x）=x3+3 x2+3x+1，
f′（x）=3x2+6 x+3，令f′（x）=0，可得x=? ，或x=? ，
当x∈（?∞，? ）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（? ，? ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（? ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（II）由f（2）≥0，可解得a≥ ，当a≥ ，x∈（2，+∞）时，
f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（ ）=3（x? ）（x?2）＞0，
所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，
综上可得，a的取值范围是[ ，+∞）
21．（1）解：因为 ，所以 ，即a2=4b2，a=2b．
又a+b=3，得a=2，b=1．
所以椭圆C的方程为 ；
（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为 ．
联立 ，得（4k2+1）x2?16k2x+16k2?4=0．
所以 ， ．
则 ．
四、请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=n=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四点共圆．
（Ⅱ）=4，n=6时，方程x2?14x+n=0的两根为x1=2，x2=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．
∵C，B，D，E四点共圆，
∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF= （12?2）=5．
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
23．解：（I）设P（x，y），则由条件知（ ， ）．由于点在C1上，
所以 即
从而C2的参数方程为
（α为参数）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ= 与C1的交点A的极径为ρ1=4sin ，
射线θ= 与C2的交点B的极径为ρ2=8sin ．
所以AB=ρ2?ρ1= ．
24．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为x?1≥2．
由此可得 x≥3或 ．
故不等式f（x）≥3x+2的解集为{xx≥3或x≤?1}．
（Ⅱ） 由f（x）≤0得：x?a+3x≤0
此不等式化为不等式组： 或 ．
即 或
因为a＞0，所以不等式组的解集为 ，由题设可得 =?1，故a=2．
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