选修4-1 几何证明选讲

A组(供高考题型为选择、题的省份使用)
1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
解析　∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，
∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8.
又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，
∴＝，∴BE＝＝＝4.
答案　4
2．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．
解析　如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，
∴AF＝AD－DF＝.
答案　
3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.
解析　连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝.
又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB，
∴四边形EBCD是矩形．
在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝.
答案　
4．如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.
解析　如图，连接OA，OB，∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠ACB＝120°，
∴∠AOB＝120°.又P，A，O，B四点共圆，故∠APB＝60°.
答案　60°
5．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
解析　由切割线定理知，PC2＝PA?PB，解得PC＝2.连接OC，又OC⊥PC，故CD＝＝＝.
答案　
6．如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为________．
解析　由切割线定理，得CD2＝BD?AD.
因为CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)，
即BD2＋5BD－36＝0，
即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.
因为∠A＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是＝.
所以AC＝?BC＝×3＝.
答案　
7．(2013?重庆卷)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______．
解析　由题意，得弦切角∠BCD＝∠A＝60°，∠ACB＝∠D＝90°，∴△ABC∽△CBD.
∴＝，CD＝＝＝5.
又∵CD与圆相切，∴CD2＝DE?DB，则DE＝＝＝＝5.
答案　5
8．如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.
解析　由相交弦定理可得BF?AF＝DF?CF，
由△COF∽△PDF可得＝，
即得DF?CF＝PF?OF.∴BF?AF＝PF?OF，
即(PF－2)?(6－PF)＝PF?(4－PF)，解得PF＝3.
答案　3
9．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为________．
解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，
∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.
∵＝，＝，∴＝.
答案　
10．(2013?广东卷)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.

解析　C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝⇒AC2＝AE?AD＝4×6＝24，AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2.
答案　2
11．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 c，4 c，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝________c.
解析　如图，连接DC，则CD⊥AB，
Rt△ADC∽Rt△ACB.
故＝，即＝，
AD＝(c)，BD＝5－＝(c)．
答案　
12．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝，AC＝n，则AB＝________.
解析　∵直线PB与圆相切于点B，且∠PBA＝∠DBA，
∴∠ACB＝∠ABP＝∠DBA，由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点，则由切割线定理得AB2＝AD?AC＝n，即得AB＝.
答案　
13．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．

解析　由相交弦定理得AF?FB＝EF?FC，
∴FC＝＝2.由△AFC∽△ABD，
可知＝，∴BD＝＝.
由切割线定理得DB2＝DC?DA，又DA＝4CD，
∴4DC2＝DB2＝，∴DC＝.
答案　
14．如图所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．
解析　设AF＝4k，BF＝2k，BE＝k，由DF?FC＝AF?BF，得2＝8k2，即k＝.所以AF＝2，BF＝1，BE＝，
AE＝.由切割线定理，得CE2＝BE?EA＝×＝，所以CE＝.
答案　
15．如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．
解析　当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大．
答案　2
B组(供高考题型为解答题的省份使用)
1．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝AD?AE，求∠BAC的大小．
(1)证明　由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.
(2)解　因为△ABE∽△ADC，所以＝，
即AB?AC＝AD?AE.
又S＝AB?ACsin∠BAC，且S＝AD?AE，
故AB?AC?sin∠BAC＝AD?AE.
则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.
2．(2013?辽宁卷)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD?BC.
证明　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，
从而∠EAB＋∠EBF＝；
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，
从而∠FEB＝∠EAB.
故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，
∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，
得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
同理可证，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，
故EF2＝AF?BF，所以EF2＝AD?BC.
3．如图，过圆O外一点作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线O，垂足为P.

(1)证明：O?OP＝OA2；
(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OK＝90°.
证明　(1)因为A是圆O的切线，所以OA⊥A.又因为AP⊥O，在Rt△OA中，由射影定理知，OA2＝O?OP.
(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON?OK，又OB＝OA，所以OP?O＝ON?OK，
即＝.又∠NOP＝∠OK，
所以△ONP∽△OK，故∠OK＝∠OPN＝90°.
4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.
(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；
(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋，求△ABC外接圆的面积．
(1)证明　如图，设F为AD延长线上一点．
∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠CDF＝∠ABC.
又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
且∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠CDF.
又∠EDF＝∠ADB，
故∠EDF＝∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE.
(2)解　设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，
则AH⊥BC.
连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，
∴∠OCH＝60°.
设圆半径为r，则r＋r＝2＋，
得r＝2，外接圆面积为4π.
5．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.
(1)求证：AB2＝DE?BC；
(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．
(1)证明　∵AD∥BC，∴＝.
∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.
又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.
∴△CDE∽△BCD.∴＝.
∴CD2＝DE?BC，即AB2＝DE?BC.
(2)解　由(1)知，DE＝＝＝4，
∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，
∴＝＝.
又∵PB－PD＝9，
∴PD＝，PB＝.
∴PC2＝PD?PB＝?＝.∴PC＝.
6．(2013?新课标全国Ⅰ)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
(1)证明　连接DE，则∠DCB＝∠DEB，
∵DB⊥BE，
∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，
∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，
又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，
∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，
∴DB＝DC.
(2)解　由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，
∴＝，
∴∠BDE＝∠CDE，
∴DE是BC的垂直平分线，
设交点为H，则BH＝，
∴OH＝＝，
∴DH＝，
∴tan∠BDE＝＝，
∴∠BDE＝30°，
∴∠FBE＝∠BDE＝30°，
∴∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BC是△BCF的外接圆直径．
∴△BCF的外接圆半径为.

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