第 节　等差数列
　　　　 　 　　　　　　 　　　　　　 　　
【选题明细表】
知识点、方法题号
等差数列的基本运算1、3
等差数列的性质2、4、5、9
等差数列的判定8、11
等差数列的最值问题6、7
综合应用问题10、12
一、
1.(2012年高考重庆卷)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5等于(　B　)
(A)7(B)15 (C)20(D)25
解析:∵{an}是等差数列,
∴ ⇒
∴S5=5a1+ d=5×(-1)+10×2=15,
故选B.
2.(2012年高考福建卷)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为(　B　)
(A)1(B)2(C)3(D)4
解析:∵a1+a5=2a3=10,
∴a3=5,
又∵a4=7,
∴d=2,故选B.
3.(2013天津市新华中学月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=3(a2+a8),则 的值为(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由S5=3(a2+a8)得,
=3×2a5,
即5a3=6a5,
所以 = ,
故选D.
4.(2012金华一中月考)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=3(a2+a8),则 等于(　A　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由等差数列的性质可知,S5=5a3,a2+a8=2a5,
因为S5=3(a2+a8),
所以5a3=3×2a5, = ,
故选A.
5.(2012厦门市高三上学期期末质量检查)在等差数列{an}中,an>0,且a1+a2+…+a10=30,则a5•a6的最大值等于(　C　)
(A)3(B)6(C)9(D)36
解析:∵a1+a2+…+a10=30,
即 =30,a1+a10=6,
∴a5+a6=6,
∴a5•a6≤ =9,
故选C.
6.(2012北京海淀)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(　B　)
(A)6(B)7(C)8(D)9
解析:∵an+1-an=-3(n∈N*),
∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,
∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前k项和最大,
则有
∴
∴ ≤k≤ ,
∵k∈N*,
∴k=7.
故满足条件的n的值为7.
故选B.
二、题
7.(2012西安八校联考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为　　　　米.
解析:设树苗放在第i个树坑旁边(如图),

那么各个树坑到第i个树坑距离的和是
s=(i-1)×10+(i-2)×10+…+(i-i)×10+[(i+1)-i]×10+…+(20-i)×10=10×[i×i- -i×(20-i)+ ]=10(i2-21i+210),
所以当i=10或11时,s的值最小,最小值是1000,
所以往返路程的最小值是2000米.
答案:2000
8.已知数列{an} 中,a1=1且 = + (n∈N*),则a10= 　　　　 .
解析:由 = + 知,
数列 为等差数列,
则 =1+ (n-1),
即an= .
∴a10= = .
答案:
9.(2012烟台高三质检)由正数组成的等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且 = ,则 =　　　　.
解析:由 = = ,
∴取n=3,
则有 = = .
答案:
三、解答题
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2+a4=14,S7=70.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,则数列{bn}的最小项是第几项?并求出该项的值.
解:(1)设公差为d,
则有
即
解得
所以an=3n-2.
(2)数列{bn}的最小项是第4项,
Sn= [1+(3n-2)]= ,
所以bn= =3n+ -1≥2 -1=23.
当且仅当3n= ,
即n=4时取等号,
故数列{bn}的最小项是第4项,该项的值为23.
11.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn= +n-4(n∈N*).
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:当n=1时,有2a1= +1-4,
即 -2a1-3=0,
解得a1=3(a1=-1舍去).
当n≥2时,有2Sn-1= +n-5,
又2Sn= +n-4,
两式相减得2an= - +1,
即 -2an+1= ,
也即(an-1)2= ,
因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,
则an+an-1=1.
而a1=3,
所以a2=-2,
这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,
所以an-1=an-1,
即an-an-1=1,
因此数列{an}为等差数列.
(2)解:由(1)知a1=3,d=1,
所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,
即an=n+2.
12.(2013南充市第一次适应性考试)设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是 和an的等差中项.
(1)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)证明: + +…+ <2.
(1)解:由已知,2Sn= +an,且an>0.
当n=1时,2a1= +a1,
解得a1=1.
当n≥2时,有2Sn-1= +an-1.
于是2Sn-2Sn-1= - +an-an-1,
即2an= - +an-an-1,
于是 - =an+an-1,
即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.
因为an+an-1>0,
所以an-an-1=1(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,
且an=n.
(2)证明:因为an=n,
则Sn= , = =2 .
所以 + +…+
=2 + +…+
=2

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