2014年安徽省“江南十校”高三联考

数学（理科）答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C．解析：
2. A.解析：
 
3.C解析：由题知，这样的双曲线标准方程有两个
4.D解析：由得，所以
5.B解析：值域,
6.D解析：将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥
7.B解析：回归直线不一定过样本点
8.C解析：由知，则.
9.B解析：根据向量加法的平行四边形法则得动点的轨迹是以为邻边的平行四边形，其面积为面积的2倍.在中，由余弦定理可得，代入数据解得，设的内切圆的半径为，则，解得，所以，故动点的轨迹所覆盖图形的面积为

10. C解析：,则，对任意

恒成立的充要条件是，解得的取值范围是
 
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应横线上。
11．
 
12.解析：它的展开式的通项公式为 ，则项的系数是
，又，则

13. 解析：直线的极坐标方程为，可化为，

∴圆心C（1，1）到直线的距离为,又∵圆C的半径为，
∴直线被曲线C截得的弦长.
14解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域为及其内部，又因为，而表示可行域内一点和点连线的斜率，由图可知，原不等式组解得,所以，从而。
15（1）（3）（4）（5）解析：显然命题（1）正确；（2）四面体的垂心到四个面的距离不一定相等，（2）命题错误；若四面体为垂心四面体，垂心为,则均与垂直，从而,（3）命题正确；设顶点在面上的射影为,因，所以的射影,同理,即是的垂心，（4）命题正确；由（4）设交于,则,即,(5)命题正确。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答应写在答题卡指定的区域内。
16．解  ……………4分
                                                                     ……………6分
（Ⅰ）                          ……………8分
（Ⅱ）因为 ，  所以．                     ……………10分
  所以当，即时，有最大值.               ……………12分
 
 17解：（Ⅰ）设“取出的个球中编号最大数值为的球”为事件,则最大数值为3相当于从编号为的红色球和编号为的白色球中任取个，其概率。  ……………4分
 （Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4，                                 ……………5分
,,,,
所以的分布列为                                                   ……………9分

ξ	1	2	3	4
P

故.                          ……………12分
 
18解：对求导得   ①                  ……………2分
（I）若，由         ……………3分
综合①,可知

	+	0	－	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以,是极大值点,是极小值点.  （注：未注明极大、极小值扣1分）……………6分
（II）若为上的单调函数，又，所以当时，即在上恒成立。                           ……………8分
（1）当时，在上恒成立；                    ……………9分
（2）当时，抛物线开口向上，则在上为单调函数的充要条件是，即，所以。                     ……………11分
综合（1）（2）知的取值范围是。                           ……………12分
 

19. 证明（Ⅰ）如图，连接分别为的中点，是的中位线，且.又且//且，

四边形是平行四边形，即, 
  又.                ……………4分
 （Ⅱ）为直径，,又,从而,，,               ………8分
（III）如图，作过的母线,连接,则是上底面圆的直径，连接,则,又,过作,连接,则,所以为二面角平面角的补角。            ……………10分
 为正方形，（为圆柱半径），在中，。
平面与平面所成二面角的余弦值是 。       ……………12分
法二：分别以为轴建系，设则，平面的法向量，又，设平面的法向量，则由得，取，则，二面角余弦值是 。………12分
20解：（1）由题意知，                               ……………2分
，椭圆的标准方程是。                     ……………4分
（2）联立             ……………5分
 由
得                                      ……………7分
记，则
因,所以,故三点共线                                          ……………10分
‚          ……………12分
由‚知三点共线的充要条件是且。                ……………13分
 21解（Ⅰ）由原式可得                 ……………2分
记，则，               ……………3分
又，所以，数列是首项为，公差为的等差数列。………4分
从而有，故，即。    ……………5分
（Ⅱ），                        ……………6分
若，则数列的前项和；                       ……………7分
若，记数列的前项和为，则，由错位相减得
，从而。        ……………10分
（III）
              =
                                                                       ……………12分 

1. 若，则，从而； ……………13分
2. 若，则，从而。

   综上知，对任意，数列均为递增数列。                    ……………14分
 

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