学习能力诊断卷 （理科试卷）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.4
一．题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．若函数 的反函数图像过点 ，则 = .
2．已知函数 的值域为 ，集合 ，则 = .
3．已知 ，且 ，则 =___________.
4．已知圆锥的母线长为 ，侧面积为 ，则此圆锥的体积为__________（结果保留 ）.
5．已知 （ 为虚数单位）是一元二次方程
( 均为实数)的一个根，则 =__________.
6．如图给出的是计算 的值的一个程序框图，
图中空白执行框内应填入 .
7. 在极坐标系中,过圆 的圆心,且垂直于极轴的直线的
极坐标方程是__________.
8. 将参数方程 （ 为参数， ）化为普通方程，
所得方程是_____ _____.
9. 在二项式 的展开式中，常数项的值是 ，
则 = .
10．一质地均匀的正方体三个面标有数字 ，另外三个面标有数字 .将此正方体连续抛掷两次，
若用随机变量 表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望 =___________.
11．已知椭圆 内有两点 为椭圆上一点，
则 的最大值为 .
12.如图， 为直线 外一点，若 中任意相邻两点的距离相等，
设 ，用 表示 ，其结果为 .
13.设函数 ，将 向左平移 个单位得到函数 ，将 向上平移
个单位得到函数 ,若 的图像恒在 的图像的上方，则正数 的取值范围为 .
14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以 为顶点，任意向上翻折，折痕与
交于点 ，然后复原，记 ；第二步，将纸片以 为顶点向下翻折，使 与
重合，得到折痕 ,然后复原，记 ；第三步，将纸片以 为顶点向上翻折，使
与 重合，得到折痕 ，然后复原，记 ；按此折法从第二步起重复以上步骤……，
得到 ，则 .
二．（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．已知 为实数，命题甲： ，命题乙： ，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16．已知函数 ，设 ，则 是 （ ）
A.奇函数，在 上单调递减
B.奇函数，在 上单调递增
C.偶函数，在 上递减，在 上递增
D.偶函数，在 上递增，在 上递减
17．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙
三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
① 甲地：5个数据的中位数为 ，众数为 ；
② 乙地：5个数据的中位数为 ，总体均值为 ；
③ 丙地：5个数据中有一个数据是 ，总体均值为 ，总体方差为 ；
则肯定进入夏季的地区有 ( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
18. 如图所示，向量 的模是向量 的模的 倍， 的夹角为 ,那么我们称向量 经过
一次 变换得到向量 .在直角坐标平面内，设起始向量 ，向量 经过 次
变换得到的向量为 ，其中 为逆时针排列，
记 坐标为 ，则下列命题中不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分)
在 中， 分别是角 的对边，且 ,若
的面积 ，求 的值.
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为 .轮船的
最大速度为 海里/小时.当船速为 海里/小时，它的燃料费是每小时 元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时 元.假定运行过程中轮船以速度 匀速航行．
（1）求 的值；
（2）求该轮船航行 海里的总费用 （燃料费+航行运作费用）的最小值.
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，已知 是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是 ， 为侧棱 的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求直线 到平面 的距离.
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知数列 的前 项和为 ,数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，对任意的正整数 ，将集合 中的三个元素排成
一个递增的等差数列，其公差为 ，求证：数列 为等比数列；
（3）对（2）题中的 ，求集合 的元素个数.
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.
已知双曲线 的中心在原点， 是它的一个顶点， 是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过点( )任意作一条直线与双曲线 交于 两点 ( 都不同于点 )，
求证： 为定值；
(3)对于双曲线?: ， 为它的右顶点， 为双曲线?上的两点
(都不同于点 )，且 ，那么直线 是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；
若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线 及它的左顶点；
情形二：抛物线 及它的顶点；
情形三：椭圆 及它的顶点.
（理）参考答案
一．题:(本题共有14题，每小题4分)
1． 2. 3. 4. 5. 19 6． 7.
8. ( ) 9. 10. 11. 12.
13. 14.
二．：（本题共有4小题，每小题5分）
15. B 16. B 17. C 18.D
三．解答题
19．（本题12分）
解：由条件可得 ，……………2分
即 ，……………4分
………………………………8分
由余弦定理 ,得 ………………10分
于是， . ………………………………………12分
20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）由题意得燃料费 ，………………………………2分
把 =10， 代入得 .………………………………………………6分
（2） ，……………………………………9分
= ，………………………11分
其中等号当且仅当 时成立，解得 ，……………13分
所以，该轮船航行 海里的总费用 的最小值为2400（元）. ……………………………14分
21．（本题14分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分.
解：（1）方法一：
以 中点 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分
由题意得
则 . .............3分
设 为向量 的夹角，则
，.....5分
异面直线 与 所成角的大小为arccos . ...... 6分
方法二：取 中点 ，连结 .
………………………………….2分
（或其补角）为异面直线 所成的角. ……3分
由题意得:在 中， ;在 中， ;……………………4分
在等腰三角形 中，
………5分
所以异面直线 与 所成角的大小为 . .... 6分
（2）方法一：
由题意可得 ,
所以， 到平面 的距离即为 到平面 的距离，设为 . …………….8分
设平面 的法向量为 ， ,
由 得
,…………………11分
,
即 . ……………………………………………………12分
所以
故直线 到平面 的距离为 .…………………………………14分
方法二：
由题意可得 ,
所以， 到平面 的距离即为 到平面 的距离，设为 .…………….8分
由题意得 ，
等腰 底边 上的高为 ，
则 ，
且 到平面 的距离为 ，………………………………………12分
由 得……………………………………………………………13分
，则 ，
所以，直线 到平面 的距离为 .……………14分
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分6分.
解：(1)由条件得 ，即 ,…………………………..2分
所以， . ……………………………………………………..4分
(2) 由（1）可知
所以， ， ,
，…………………………..7分
由 及 得 依次成递增的等差数列,……………..8分
所以 ，…………………………..9分
满足 为常数，所以数列 为等比数列. …………………………..10分
（3）①当 为奇数时，
，…………………………..12分
同样，可得 ,
所以，集合 的元素个数为
；……..13分
②当 为偶数时，同理可得集合 的元素个数为 . .…..16分
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、7分、8分。
解：(1)设双曲线C的方程为 ，则 ，…….2分
又 ，得 ，所以，双曲线C的方程为 . ………….4分
(2)当直线 垂直于 轴时，其方程为 ， 的坐标为( , )、( , )，
，得 =0. ………………..6分
当直线 不与 轴垂直时，设此直线方程为 ，由 得
.
设 ，则 , ，……………..8分
故
.……....9分
＋ ＋ =0 . 综上， =0为定值. ………………10分
(3)当 满足 时，取 关于 轴的对称点 、 ，由对称性知 ，此时 与 所在直线关于 轴对称，若直线 过定点，则定点必在 轴上. …… ..11分
设直线 的方程为： ，
由 ，得
设 ，则 , ，
由 ，得 ， ，
即 ，
，
化简得， 或 (舍)， ……………………………………….13分
所以，直线 过定点( ,0). ………………………………..14分
情形一：在双曲线? ： 中，若 为它的左顶点， 为双曲线?上的两点(都不同于点 )，且 ，则直线 过定点( ,0). …….15分
情形二：在抛物线 中，若 为抛物线上的两点(都不同于原点 )，且 ，则直线 过定点 . …………..16分
情形三：（1）在椭圆 中，若 为它的右顶点， 为椭圆上的两点(都不同于点 ), 且 ，则直线 过定点( ,0)；…………..15分
（2）在椭圆 中，若 为它的左顶点， 为椭圆上的两点(都不同于点 )，且 ，则直线 过定点( ,0) ；………..16分
（3）在椭圆 中，若 为它的上顶点， 为椭圆上的两点(都不同于点 ), 且 ，则直线 过定点(0, )； ………..17分
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