数学（理）试题
满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
6．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数 为虚数单位）对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量 ，若 ／／ ，则k的值为
A．4 B．1 C．－1 D．－4
3．设{an}是等比数列，函数y=x2－x－2013的两个零点是a2，a3，则ala4=
A．2013B．1 C．－1 D．－2013
4．“a=2”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．3名大学生分配到4个单位实习，每个单位不超过2名学生，则不同的分配方案有
（A） 10种 B．36种 C． 48种 D． 60种
6．一个几何体的三视图如题（6）图所示，则这个几何体的体积为
A．6．5
B．7
C．7．5
D．8
7．对于数集A，B，定义A+B={xx=a+b，a∈A，b∈B），
A÷B={xx= ， ，若集合A={1，2}，则集
合（A+A）÷A中所有元素之和为
A． B． C． D．
8．已知函数y=sinax+b（a>0）的图象如题（8）图所示，则函数y=loga（x－b）的图象可能是
9．已知A是双曲线 的左顶点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若 ，则双曲线的离心率为
A．2 B．3 C．4 D．与 的取值有关
10．某学生在复习指数函数的图象时发现：在y轴左边，y=3x与y=2x的图象均以x轴负半轴为渐近线，当x=0时，两图象交于点（0，1）．这说明在y轴的左边y=3x与y=2x的图象从左到右开始时几乎一样，后来y=2x的图象变化加快使得y=2x与y=3x的图象逐渐远离，而当x经过某一值x0以后 y= 3x的图象变化加快使得y=2x与y=3x的图象又逐渐接近，直到x=0时两图象交于点（0，1）．那么x0=
A． B．
C． D．
二、题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相对应位置上．
11．某商场有来自三个国家的进口奶制品，其中A国、B国、C国的奶制品分别有40种、10种、30种，现从中抽取一个容量为16的样本进行三聚氰胺检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，
则抽取来自B国的奶制品 种．
12．定义一个新的运算a*b：a*b= ，则同时含有运算符号“*”和“+”且对任意三个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是 （只要写出一个即可）
13．执行如题（13）图所示的程序框图，输出的结果为 。
考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做则按前两题给分
14．如题（14）图，已知圆O的半径为3，AB与圆D相切于A，BO与圆O相交于C，BC =2，则△ABC的面积为 。
15．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，记 为极径， 为极角，圆C： =3 cos 的圆心C到直线 ： cos =2的距离为 。
16．关于x的不等式x－l+log2（x －1）
17．（本小题满分13分）
已知函数 图象上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B，C,
（I）求a的值；
（II）求 的单调递增区间．
18．（本小题满分13分）
一次测验中，某道多项选择题有4个选项，恰好选中全部正确选项得6分，恰好选中部分正确选项得2分选中错误选项或不选得0分．现已知此题有两个正确选项，一考生选择每个选项的概率都为 ．
（I）求此考生的答案中至少包含一个正确选项的概率；
（II）求此考生此题得分 的数学期望．
19．（本小题满分13分）
如题（19）图，四棱锥P－ ABCD的底面ABCD为菱形，
PA⊥平面ABCD，∠ABC= 60°，直线PC与底面ABCD
所成的角为45°，E、F分别是BC、PC的中点．
（I）证明：AE⊥PD；
（II）求二面角E—AF—C的余弦值，
20．（本小题满分12分）
设函数 （a∈R）．
（I）若函数 在R上单调递减，求a的取值范围
（II）当a>0时，求 的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C： 的左、右焦点分别为F1、F2，短轴上端点为B，△BF1F2为等边三角形．
（I）求椭圆C的离心率；
（II）设过点F2的直线 交椭圆C于P、Q两点，若△F1 PQ面积的最大值为6，求椭圆C的方程．
22．（本小题满分12分）
构造如题（22）图所示的数表，规则如下：先排两个l作为第一层，然后在每一层的相邻两个数之间插入这两个数和的a倍得下一层，其中a∈（ ），设第n层中有an个数，这an个数的和为 。
2013年(春)高三考前模拟测试卷
数 学（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1～5 DADAD 6～10 CDABB
提示：10. 和 在 处的导数相同， .
二、题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．
11.2 12. (合理答案即可) 13.1022
14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ） ……………3分
令 ，其中 为最小正周期,
则
,故 得 ；……………7分
（Ⅱ）因为
所以 ……………10分
解得 ,
所以 的单调递增区间为 ……………13分
（18）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ） ……………6分
（Ⅱ）
……………13分
（19）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
……………6分
（Ⅱ）以 为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，
设菱形 的边长为 ，∴ ， ， ，
设平面 的法向量为
令 得
同理可得平面 的法向量
∴
∴二面角 的余弦值为 ……………13分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） ……………2分
① 时，显然不满足，
②当 ，
即 ， 所以 ……………6分
（Ⅱ）①当 ……………9分
②当 ……………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题得 ，即 ，∴ ……………4分
（Ⅱ）设 ， ，直线 方程： ，联立
得
∴ ， ……………7分
令 ， ，其中等号成立时 ，
∴ ， ……………12分
（22）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意可得
，则 得 ……………4分
（Ⅱ）先求 ，同（Ⅰ）， ，
令 ，则 ，
下证 为单调增数列：只需证
所以
又对于正数 ，由二项式定理
所以
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