绵阳市2013届高中毕业班第三次诊断性考试
数学(文科) 2013年4月21日
本试卷分第I卷()和第II卷(非)两部分。第I卷l至2页,第II卷 3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3.考试结束后,将答题卡收回。
第I卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2,3, 4},则 等于
A. {1, 2} B. {2, 3}
C.{2, 4}D. {1, 4}
2.抛物线x2=-4y的准线方程是
A. x=-1B. x=2
C.y=1D. y=-2
3.若复数z满足z*i=1+i(i为虚数单位),则复数z=
A. 1+i B. -1-I C. 1-I D. -1+i
4.设数列{an}是等比数列,则“a1
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
5.平面向量a与b的夹角为600,a=(2, 0),b =(cosa, sina),则a+2b=
A. B.2
C. 4D. 12
6.函数f(x)= x-sinx的大致图象可能是
7.执行如图所示的程序框图,若输出结果为26,则M处的条件为
A. B.
C. k>3l D. k>l5
8.己知函数. ,若函数f(x)在区间 上单调递增,则0的取值范围是
A [ ]
B [ ]
C ( ] [ )
D ( ] [ )
9.已知椭圆 与离心率为2的双曲线 的公共焦点 是F1 F2,点P是两曲线的一个公共点,若 ,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
10.已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数,a为常数)是实数集R上的奇函数,若 函数f(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点,则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
第II卷(非选择题,共100分)
二、题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行,则实数a的值是____
12.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形,俯视图是一个直径为4的圆,则这个几何体的侧 面积是____
13.设变量x、y满足约束条件: ,则目标函数z=2x+y的最大值是_______
14.己知 ,且 则cosa=______
15.定义在区间[a,b]上的函数y=f(x), 是函数f(x)的导数,如果 ,使得f(b)-f(a)= ,则称 为[a,b]上的“中值点”.下列函数:
① f(x)=2x+l,② f(x)=x2-x+l,
③ f(x)=lnx+l,④ ,
其中在区间[0, 1]上的“中值点”多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有结论的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
从高三学生中抽取n名学生参加数学竞赛,成绩(单位:分)的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示,已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.
(I)求n的值;
(II)试估计这n名学生的平均成绩;
(III)若从数学成绩(单位:分)在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析,求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.
17.(本小题满分12分)
已知{an}是等差数列,a1=3, Sn是其前n项和,在各项均为正数的等比数列{bn}中, b1=1 且b2+S2=1O, S5 =5b3+3a2.
(I )求数列{an}, {bn}的通项公式;
(II)设 ,数列{cn}的前n项和为Tn,求证
18.(本小题满分12分)
如图,ABCD是边长为2的正方形,ED?平面ABCD,ED=1, EF//BD 且EF= BD.
(I)求证:BF//平面ACE
(II)求证:平面EAC?平面BDEF;
(III)求几何体ABCDEF的体积.
19.(本小题满分12分)
函数 的部分图象如图示,将y=f(x)的图象向右平移 个单位后得到函数y=f(x)的 图象.
(I )求函数y=g(x)的解析式;
(II)已知ΔABC中三个内角A,B, C的对边分别为a, b,c,且满足 + =2 sinAsinaB,且C= ,c=3,求ΔABC的面积.
20.(本小题满分13分)
已知椭圆C: 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线 相切.A、B是椭圆的左右顶点,直线l 过B点且与x轴垂直,如图.
(I )求椭圆的标准方程;
(II)设G是椭圆上异于A、B的任意一点,GH?x轴,H为垂足,延长HG到点Q 使得HG=GQ,连接AQ并延长交直线l于点M,点N为MB的中点,判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.
21.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).
(I )求函数f(x)的单调区间;
(II)如果对任意 ,都有不等式f(x)> x + x2成立,求实数a的取值范围;
(III)设 ,证明: + + +…+ <
绵阳市高中2013级第三次诊断性考试
数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
DCCBB AABDD
二、题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.1 12.16π 13.3 14. 15.①④
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.解:(Ⅰ)成绩在区间 的频率是:
1 (0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54,
∴ 人. ……………………………………………………………3分
(Ⅱ)成绩在区间 的频率是:
1 (0.02+0.016+0.006+0.004+0.03) 10=0.24,
利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是:
45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2. ……………3分
(Ⅲ)成绩在区间 的学生人数是:50×0.04=2人,
成绩在区间 的学生人数是:50×0.06=3人,
设成绩在区间 的学生分别是A1,A2,成绩在区间 的学生分别是B1,B2,B3,
从成绩在 的学生中随机选取2人的所有结果有:(A1,A2),(A1,B1),
(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共10种情况.
至少有1人成绩在 内的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)共7种情况.
∴ 至少有1人成绩在 内的概率P= . ……………………………6分
17.解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
由题意可得:
解得q=2或q= (舍),d=2.
∴ 数列{an}的通项公式是an=2n+1,数列{bn}的通项公式是 . …7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,于是 ,
∴
< . …………12分
18.解:(Ⅰ)如图,记AC与BD的交点为O,连接EO,于是DO=OB.
∵ EF∥BD且EF= BD,
∴ EF OB,
∴ 四边形EFBO是平行四边形,
∴ BF∥EO.
而BF 平面ACE,EO 平面ACE,
∴ BF∥平面ACE.…………………………4分
(Ⅱ)∵ ED⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
∴ ED⊥AC.
∵ ABCD是正方形,
∴ BD⊥AC,
∴ AC⊥平面BDEF.
又AC?平面EAC,故平面EAC⊥平面BDEF. ……………………………8分
(Ⅲ)连结FO,∵ EF DO,
∴ 四边形EFOD是平行四边形.
由ED⊥平面ABCD可得ED⊥DO,
∴ 四边形EFOD是矩形.
∵ 平面EAC⊥平面BDEF.
∴ 点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高,
且高h= = .
∴几何体ABCDEF的体积
=
=2.……………………………………………12分
19.解:(Ⅰ)由图知: ,解得ω=2.
再由 ,
得 ,即 .
由 ,得 .
∴ .
∴ ,
即函数y=g(x)的解析式为g(x)= .………………………………6分
(Ⅱ)由已知化简得: .
∵ (R为△ABC的外接圆半径),
∴ ,
∴ sinA= ,sinB= .
∴ ,即 . ①
由余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC,
即 9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab. ②
联立①②可得:2(ab)2-3ab-9=0,解得:ab=3或ab= (舍去),
故△ABC的面积S△ABC= .…………………………………12分
20.解:(Ⅰ)由题可得:e= .
∵ 以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+ =0相切,
∴ =b,解得b=1.
再由 a2=b2+c2,可解得:a=2.
∴ 椭圆的标准方程: .……………………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:A(-2,0),B(2,0),直线l的方程为:x=2.
设G(x0,y0)(y0≠0),于是H(x0,0),Q(x0,2y0),
且有 ,即4y02=4-x02.
设直线AQ与直线BQ的斜率分别为:kAQ,kBQ,
∵ ,即AQ⊥BQ,
∴ 点Q在以AB为直径的圆上.
∵ 直线AQ的方程为: ,
由 解得: 即 ,
∴ .
∴ 直线QN的斜率为: ,
∴ ,于是直线OQ与直线QN垂直,
∴ 直线QN与以AB为直径的圆O相切. …………………………………13分
21.解:(Ⅰ)∵ ,
当a≤0时 ,得函数f (x)在(-∞,+∞)上是增函数.
当a>0时,
若x∈(lna,+∞), ,得函数 在(lna,+∞)上是增函数;
若x∈(-∞,lna), ,得函数 在(-∞,lna)上是减函数.
综上所述,当a≤0时,函数f (x)的单调递增区间是(-∞,+∞);当a>0时,函数f (x) 的单调递增区间是(lna,+∞),单调递减区间是(-∞,lna).…5分
(Ⅱ)由题知:不等式ex-ax>x+x2对任意 成立,
即不等式 对任意 成立.
设 (x≥2),于是 .
再设 ,得 .
由x≥2,得 ,即 在 上单调递增,
∴ h(x)≥h(2)=e2-4>0,进而 ,
∴ g(x)在 上单调递增,
∴ ,
∴ ,即实数a的取值范围是 .………………………10分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
当a=1时,函数f (x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
∴ f (x)≥f (0)=1,即ex-x≥1,整理得1+x≤ex.
令 (n∈N*,i=1,2,…,n-1),则 ≤ ,即 ≤ ,
∴ ≤ , ≤ , ≤ ,…, ≤ ,
显然 ≤ ,
∴
≤
,
故不等式 (n∈N*)成立.……………4分
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