2013深圳外国语学校综合测试
理科数学
本试卷分第I卷（）和第II卷（非）两部分．共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上，非选择题应在答题卡上对应的位置作答. 超出答题区域书写的答案无效．
2．作选考题时，按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考数据：锥体的体积公式 锥体 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集 ＜ ，集合 ，则 等于
A． B． C． D．
2. 是虚数单位，若 ，则 等于
A．1 B． C． D．
3．若 ，对任意实数 都有 ，且 ，则实数 的值等于
A． ； B． ； C． 或 D．5或1
4．在等比数列 中， ，公比 ．若 ，则 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．实数 满足 若目标函数 取得最大值4，则实数 的值为
A．2 B．3 C．4 D．
6．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，若甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为
A．24 B．36 C．48 D．60
7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A ． B． C． D．
8．在整数集 中，被5除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 ．给出如下四个结论：
① ； ② ； ③ ；
④“整数 ， 属于同一“类”的充要条件是“ ”．
其中，正确结论的是 ( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
第II卷（非选择题 共110分）
二、题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）
（一）必做题 (9～13题)
9．已知向量 、 的夹角为 ，且 ， ，则 ________.
10. 运行如右图所示的程序框图,则输出 的值为________.
11.直线 与抛物线 围成的图形的面积等于______.
12.已知双曲线 （ ）的离心率为2，一个焦点与抛物线 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_________.
13. 已知函数 的图象关于点 对称，且函数 为奇函数，则下列结论：①点 的坐标为 ；②当 时， 恒成立；③关于 的方程 有且只有两个实根。其中正确结论的题号为 。
A ．①② B．②③ C． D．①②③
（二）选做题 (14～15题，考生只能从中选做一题)
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ；在极坐标系（以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，曲线 的方程为 ， 则 与 两交点的距离为________.
15．（几何证明选讲选做题）如图, 是两圆的交点, 是小圆的一条直径, 和 分别是 和 的延长线与大圆的交点,已知 ,且 ,则 ________________．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分12分）
已知函数 ，
(I) 求函数 的最小正周期及单调增区间；
(Ⅱ)在 中，角A、B、C所对的边分别是 、 、 ，又 ， ， 的面积等于 ，求边长 的值．
17．（本小题满分l2分）
如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动).
(Ⅰ)求某个家庭得分为(5,3)的概率；
(Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率；
(Ⅲ)若共有4个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为X,求X的分布列及数学期望.
18．（本小题满分l4分）
如图，在矩形 中， ， 为 的中点，将 沿 折起，使 ；再过点 作 ，且 ．
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)求直线 与 所成角的正弦值；
(Ⅲ)求点 到 的距离．
19．（本小题满分l4分）
已知等差数列 的首项为a，公差为b，等比数列 的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且 ．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求b的值；
（3）令 ，问数列 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分l4分)
如图，已知抛物线 ： 和⊙ ： ，过抛物线 上一点
作两条直线与⊙ 相切于 、 两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点 到抛物线准线的距离为 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）当 的角平分线垂直 轴时，求直线 的斜率；
（3）若直线 在 轴上的截距为 ，求 的最小值．
21．(本小题满分l4分)
设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 ，使得 ，则称函数 具有性质 .
（I）设函数 ，（ ），其中 为实数
①求证：函数 具有性质 ；
②求函数 的单调区间；
(II)已知函数 具有性质 ，给定 ， ，
设 为实数， ， ，且 ， ，
若 ，求 的取值范围。
数 学(理科)参考答案
一、选择题
D B C C A B A C
二、题
9． 10． 11． 12． 13． ①③
14． 15．
三、解答题
16、 解：（1）因为 ………2分
故 的最小正周期为 ………3分
即 ………5分
所以，函数的增区间为 ………6分
（2） ………8分
………10分
由余弦定理
………12分
17、 解：(Ⅰ)记事件A：某个家庭得分情况为（5，3）.
所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为 . ……………2分
（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3类情况. 所以
所以某个家庭获奖的概率为 . ……………4分
(Ⅲ)由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是 ……5分
…………………………10分
所以X分布列为：
X01234
P
…………………………12分
18、（1）证明：折叠前，矩形 中，连接 ， 中， ， ，
即 ， ………1分
，交线为 ，
， ………3分
而
………4分
（2） 由（1）知， 是直线与 所成的角，………6分
在 中， ，
………8分
故直线 与 所成角的正弦值为 。 ………9分
（3）设点 到 的距离为 ，
且 ，
四边形 为平行四边形，
，从而 ，
故点 到 的距离等于点 到 的距离， ………11分
，
作 ，
，交线为 ，
，则 是D到面ABCE的距离，而 ………12分
由
………13分
点 到 的距离为 ………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）由已知，得 ．由 ，得 ．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又 ，故b≥3．…………………1分
再由 ，得 ．
由 ，故 ，即 ．
由b≥3，故 ，解得 ．………………… ………………………3分
于是 ，根据 ，可得 ．……………………………………4分
（2）由 ，对于任意的 ，均存在 ，使得 ，则
．
又 ，由数的整除性，得b是5的约数．
故 ，b=5．
所以b=5时，存在正自然数 满足题意．……………………………8分
（3）设数列 中， 成等比数列，由 ， ，得
．
化简，得 ． （※） …………………………10分
当 时， 时，等式（※）成立，而 ，不成立．…………………11分
当 时， 时，等式（※）成立．…………………… …………………12分
当 时， ，这与b≥3矛盾．
这时等式（※）不成立．………………………………………………………13分
综上所述，当 时，不存在连续三项成等比数列；当 时，数列 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………14分
20、解（1）∵点 到抛物线准线的距离为 ，
∴ ，即抛物线 的方程为 ．
（2）法一：∵当 的角平分线垂直 轴时，点 ，∴ ，
设 ， ，
∴ ， ∴ ，
∴ ． ．
法二：∵当 的角平分线垂直 轴时，点 ，∴ ，可得 ， ，∴直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
∵ ∴ ， ．
同理可得 ， ，∴ ．
（3）法一：设 ，∵ ，∴ ，
可得，直线 的方程为 ，
同理，直线 的方程为 ，
∴ ，
，
∴直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，
∵ 关于 的函数在 单调递增， ∴ ．
法二：设点 ， ， ．
以 为圆心， 为半径的圆方程为 ，①
⊙ 方程： ．②
①-②得：
直线 的方程为 ．
当 时，直线 在 轴上的截距 ，
∵ 关于 的函数在 单调递增， ∴ ．
21、（1）(i) ………………1分
∵ 时， 恒成立，∴函数 具有性质 ；……………2分
(ii)（方法一）设 ， 与 的符号相同。
当 时， ， ，故此时 在区间 上递增；………………3分
当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增；………4分
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，而 ，
对于 ，总有 ， ，故此时 在区间 上递增；……5分
（方法二）当 时，对于 ，
所以 ，故此时 在区间 上递增；…………………………5分
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，
方程 的两根为： ， ………………………6分
而
当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；
同理得： 在区间 上递增。
综上所述，当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在 上递减； 在 上递增…………7分
(2)（方法一）由题意，得：
又 对任意的 都有 >0，
所以对任意的 都有 ， 在 上递增。 …………8分
又 。 …………9分
当 时， ，且 ，
…………11分
…………12分
……13分
综合以上讨论，得：所求 的取值范围是（0，1）。…………14分
（方法二）由题设知， 的导函数 ，其中函数 对于任意的 都成立。所以，当 时， ，从而 在区间 上单调递增。 …………8分
①当 时，有 ，
，得 ，同理可得 ，所以由 的单调性知 、 ，
从而有 < ，符合题设。 …………10分
②当 时， ，
，于是由 及 的单调性知 ，所以 ≥ ，与题设不符。…………12分
③当 时，同理可得 ，进而得 ≥ ，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的 的取值范围是（0，1）。…………14分
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