2013届南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷（word版）（2013.5.2）
一、题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 已知集合 ， ，则 ▲ ．
2． 设复数 满足 （ 是虚数单位），则复数 的
模为 ▲ ．
3． 右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 ▲ ．
4． “ ”是“ ”成立的 ▲ 条件．
（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）
5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆
机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布
直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动
车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时
段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ．
6． 在平面直角坐标系 中，抛物线 上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ▲ ．
7． 从集合 中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ．
8． 在平面直角坐标系 中，设点 为圆 ： 上的任意一点，点 (2 ， )
( )，则线段 长度的最小值为 ▲ ．
9． 函数 ， ， 在 上
的部分图象如图所示，则 的值为 ▲ ．
10．各项均为正数的等比数列 中， ．当 取最小值时，数列 的通项公式an= ▲ ．
11．已知函数 是偶函数，直线 与函数 的图象自左向右依次交于四个不同点 ， ， ， ．若 ，则实数 的值为 ▲ ．
12．过点 作曲线 ： 的切线，切点为 ，设 在 轴上的投影是点 ，过点 再作曲线 的切线，切点为 ，设 在 轴上的投影是点 ，…，依次下去，得到第 个切点 ．则点 的坐标为 ▲ ．
13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB ， ，CD ．
若 ，则 的值为 ▲ ．
14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1 a2 a3 ，a1a42 a2a4 a2 ，且a1 a2 a3，则a4的取值范围是 ▲ ．
二、解答题
15．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，四条侧棱长均相等．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
16．在△ABC中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，c．已知 ．
（1）求角 的大小；
（2）设 ，求T的取值范围．
17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为 的均匀介质，两侧的温度差为 ，单位时间内，在单位面积上通过的热量 ，其中 为热传导系数．
假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为 ，空气的热传导系数为 ．）
（1）设室内，室外温度均分别为 ， ，内层玻璃外侧温度为 ，外层玻璃内侧温度为 ，且 ．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用 ， 及 表示）；
（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 的大小？
18．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．分别过 ， 的两条弦 ， 相交于点 （异于 ， 两点），且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值．
19．已知数列 是首项为1，公差为 的等差数列，数列 是首项为1，公比为 的等比数列．
（1）若 ， ，求数列 的前 项和；
（2）若存在正整数 ，使得 ．试比较 与 的大小，并说明理由．
20．设 是定义在 的可导函数，且不恒为0，记 ．若对定义域内的每一个 ，总有 ，则称 为“ 阶负函数”；若对定义域内的每一个 ，总有 ，则称 为“ 阶不减函数”（ 为函数 的导函数）．
（1）若 既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数 的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数” ，如果存在常数 ，使得 恒成立，试判断 是否为“2阶负函数”？并说明理由．
数学附加题
21．【选做题】
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙ 的半径为3，两条弦 ， 交于点 ，且 ， ， ．
求证：△ ≌△ ．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 不存在逆矩阵，求实数 的值及矩阵 的特征值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，已知 ， ， ， ，其中 ．设直线 与 的交点为 ，求动点 的轨迹的参数方程（以 为参数）及普通方程．
D．选修4—5：不等式选讲
已知 ， ， ．求证： ．
22．【必做题】
设 且 ，证明：
．
23．【必做题】
下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的 ， ， ， ．游戏规则如下：
① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；
② （?）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；
（?）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．
设某人参加该游戏一次所获积分为 ．
（1）求 的概率；
（2）求 的概率分布及数学期望．
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