数 学 （文科） 2013.5
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.集合 ， ，则
A． B． C． D．
2. 已知 ，则 的大小关系为
A. B. C. D.
3.如图，在边长为 的正方形内有不规则图形 . 向正方形内随机撒豆子，
若撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 ，则图形 面积的估计值为
A. B. C. D.
4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
5.下列函数中，为偶函数且有最小值的是
A. B.
C. D.
6.在四边形 中，“ ， ”是“四边形 为平行四边
形”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.双曲线 的左右焦点分别为 ，且 恰为抛物线 的焦点，设双曲线 与该抛物线的一个交点为 ，若 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
8.若数列 满足：存在正整数 ，对于任意正整数 都有 成立，则称数列 为周期数列，周期为 . 已知数列 满足 ，
则下列结论中错误的是
A.若 ，则
B.若 ，则 可以取3个不同的值
C.若 ，则数列 是周期为 的数列
D. 且 ，使得数列 是周期数列
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 复数
10.甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图，
则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.
11.已知数列 是等比数列，且 ， ，则 的值为____.
12.直线 被圆 所截得的弦长为____.
13.已知函数 的图象经过点 ，则 _____，
在区间 上的单调递增区间为_____.
14.设变量 ， 满足约束条件 其中 .
（I）当 时， 的最大值为______；
（II）若 的最大值为 ，则实数 的取值范围是_____.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知等差数列 的前 项和为 .
(I) 若 ，求 的通项公式；
(Ⅱ)若 ，解关于 的不等式 .
16.（本小题满分13分）
已知点 为 的边 上一点，且 ， ， .
（I） 求 的长；
（II）求 的面积.
17.（本小题满分14分）
如图1，在直角梯形 中， ， ， . 把 沿 折起到 的位置，使得 点在平面 上的正投影 恰好落在线段 上, 如图2所示. 点 分别为棱 的中点.
（I） 求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
(Ⅲ) 在棱 上是否存在一点 ,使得 到点 四点距离相等？请说明理由.
18.（本小题满分13分）
已知函数 .
（I）当 时， 若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，求实数 的值；
（II）若 ，都有 ，求实数 的取值范围.
19. （本小题满分14分）
已知椭圆 的四个顶点恰好是边长为2，一内角为 的菱形的四个顶点.
（I）求椭圆 的方程；
（II）若直线 交椭圆 于 两点，且在直线 上存在点 ，使得 为等边三角形，求 的值.
20.（本小题满分13分）
设 是由 个整数组成的 行 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.
123
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(Ⅰ) 数表 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1
(Ⅱ) 数表 如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数 的值；
表2
(Ⅲ) 对由 个整数组成的 行 列的任意一个数表 ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 （文科）
参考答案及评分标准 2013．5
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
一、（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号12345678
答案BACB D C B D
9．
10．乙 11. 或
12．
13．
14．
二、题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
注：11题少写一个，扣两分，错写不给分
13题开闭区间都对
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（I）设 的公差为
因为 ， ……………………2分
所以 ……………………4分
所以
所以 ……………………6分
（II）因为
当 时，
所以 ， ……………………9分
又 时，
所以 ……………………10分
所以
所以 ，即
所以 或 ，
所以 ， ……………………13分
16. 解：（I）因为 ，所以
在 中， ，
根据正弦定理有 ……………………4分
所以 ……………………6分
（II）所以 ……………………7分
又在 中，
， ……………………9分
所以 ……………………12分
所以 ……………………13分
同理，根据根据正弦定理有
而 ……………………8分
所以 ……………………10分
又 ， ……………………11分
所以 ……………………13分
17.解：（I）因为点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上
所以 平面 ，所以 …………………2分
因为 ，
所以 是 中点， …………………3分
所以 …………………4分
同理
又
所以平面 平面 …………………6分
（II）因为 ，
所以 …………………7分
又 平面 ， 平面
所以 …………………8分
又
所以 平面 …………………10分
(III)存在，事实上记点 为 即可 …………………11分
因为 平面 ， 平面
所以
又 为 中点，所以 …………………12分
同理，在直角三角形 中， ， …………………13分
所以点 到四个点 的距离相等 …………………14分
18.解：（I）当因为 , …………………2分
若函数 在点 处的切线与函数 在点
处的切线平行，
所以 ，解得
此时 在点 处的切线为
在点 处的切线为
所以 …………………4分
（II）若 ，都有
记 ，
只要 在 上的最小值大于等于0
…………………6分
则 随 的变化情况如下表：
极大值
…………………8分
当 时，函数 在 上单调递减， 为最小值
所以 ，得
所以 …………………10分
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增 ，
为最小值，所以 ，得
所以 ………………12分
综上， ………………13分
19.解：(I)因为椭圆 的四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为 的菱形的四个顶点,
所以 ,椭圆 的方程为 ………………4分
(II)设 则
当直线 的斜率为 时， 的垂直平分线就是 轴，
轴与直线 的交点为 ,
又因为 ，所以 ，
所以 是等边三角形,所以直线 的方程为 ………………6分
当直线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为
所以 ，化简得
所以 ，则 ………………8分
设 的垂直平分线为 ，它与直线 的交点记为
所以 ，解得 ,
则 ………………10分
因为 为等边三角形， 所以应有
代入得到 ，解得 （舍）， ……………13分
此时直线 的方程为
综上，直线 的方程为 或 ………………14分
20.解：（I）
法1：
法2：
（写出一种即可） …………………3分
(II) 每一列所有数之和分别为2，0， ，0，每一行所有数之和分别为 ，1;
①如果操作第三列，则
则第一行之和为 ，第二行之和为 ，
,解得 . …………………6分
② 如果操作第一行
则每一列之和分别为 ， ， ，
解得 …………………9分
综上 …………………10分
(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）
由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得
数阵中 个数之和增加，且增加的幅度大于等于 ，但是每次操作都只
是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中
个数之和必然小于等于 ，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止
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