聿怀中学2015届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题５分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设（i是虚单位），则等于A） （B） （C） （D）２． 若的终边一定落在直线 （ ）上A． B．C．D．３．函数的定义域为（ ） 　 A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．　 ４．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ）A． 　B． C． 　D．５．已知命题，命题的解集是，下列结论，其中正确的是（ ）A．命题“”是真命题 　 B．命题“”是真命题C．命题“”是真命题　 D．命题“”是假命题6． 已知函数在R上可导，且，则与的大小关系是( )A．B．C．D．不确定的零点个数为 （ ）A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个9．函数在定义域R上不是常数函数，且满足条件：对任意R，都有, 则是 （ ）A. 奇函数非偶函数 B. 偶函数非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数10．若函数在区间上的最大值为4，则的值为A． B． C．?1 D．．函数f(x)＝ln x－x2的图象大致是 (　　)，则函数的零点个数是 （ ） A.4B.3C.2D.1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.13．计算： 14．已知，则=_______ .15．定义在上的函数，如果，则实数的取值范围为　　　　　　 16. 对于函数. 若有六个不同的单调区间，则的取值范围为 选做题（考生注意：请在下列题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）17．（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点P为方程所表示的曲线上一动点，点，则｜PQ｜的最小值为＿＿＿18. (几何证明选做题) 已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线 AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为___ ___．20．（ 13分）某高校组织的自主招生考试，共有1000名同学参加笔试，成绩均介于60分到100分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分为4组：第1组 [60,70），第2组[70,80），第3组[80,90），第4组[90,100]. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格.（Ⅰ）估计所有参加笔试的1000名同学中，有面试资格的人数；（Ⅱ）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格，且甲的笔试比乙的高；面试时，要求每人回答两个问题，假设甲、乙两人对每一个问题答对的概率均为；若甲答对题的个数不少于乙，则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.21. （13分）设函数. （Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，且在区间内存在极值，求整数的值.22．（本题满分13分）已知函数．（Ⅰ）试判断函数的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围． 聿怀中学高三数学（文科）期中考试答案 三、解答题：解：（）因为…（5分）所以的最小正周期为20．（13分）解：（Ⅰ）设第组的频率为，则由频率分布直方图知 …………………（2分） 所以成绩在85分以上的同学的概率P≈ …（5分） 故这1000名同学中，取得面试资格的约有1000×0.38=380人.…（6分）（Ⅱ）设答对记为1，打错记为0，则所有可能的情况有：甲00乙00，甲00乙10，甲00乙01，甲00乙11，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，甲10乙11，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，甲01乙11，甲11乙00，甲11乙10，甲11乙01，甲11乙11，共16个………………………………………（9分）甲答对题的个数不少于乙的情况有：甲00乙00，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，甲11乙00，甲11乙01，甲11乙10，甲11乙11，共11个……………（12分）故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为.………………………（13分）21．（13分）解：（Ⅰ）由已知.……（1分） 当时，函数在内单调递增；……（2分）时，由得∴；……………（3分）得∴.……………………（4分）在内单调递增，在内单调递减.…………（5分）（Ⅱ）当时， ∴………………………………（6分）令，则∴在内单调递减.……………（8分）∵ …………………………（10分）∴即在（3,4）内有零点，即在（3,4）内存在极值. …… （11分）又∵在上存在极值，且，∴k=3.……………（13分）22．解：（I）? ?（3分） ， 故在递减 （II）? 记 再令 ? 在上递增。? ，从而 ?故在上也单调递增23．（14分） 解: (1); （5分）(2) 当时, , （7分）当,在上递减,故无最大值,不合题意. （13分）综上所述,存在实数,使得当时, 有最大值1. （14分）频率/组距0.0140.030.036o60708090100得分第20题图广东省汕头市聿怀中学2015届高三上学期期中考试数学（文）试题
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