成都树德中学3月阶段性考试数学试题（文科）考试时间120分钟满分150分命题人：尹小可一、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合,，则等于（ ）A． B．C． D．3. 已知，则（ ）A． B． C． D．4. 在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则（ ）A．0B． C． D．45．设是等差数列的前项和，若，则＝（ ）A．1 B．－1 C．2 D．6．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）A． B． C． D．7. 若方程在上有解，则实数的取值范围是( ) A． 　　 　B． C．　 D．8．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为( )A．B．C．D．9. 已知函数(),则（ ）A.必是偶函数 B.当时,的图象必须关于直线对称;C.有最大值 D. 若,则在区间上是增函数;10. 是边延长线上一点，记. 若关于的方程在上恰有两解，则实数的取值范围是 （ ）A. B. 或 C. D. 或二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡中的横线上.）11. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．12．辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如下图所示，时速在的汽车大约有______辆． 13. 如图，三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=2， ，M、N分别为SB、SC上的点， 则△AMN周长最小值为 .14. 已知实数x,y满足，则的取值范围是______.15.设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“有界泛函”．现在给出如下个函数：； ； ； ； 是上的奇函数，且满足对一切，均有．其中属于“有界泛函”的函数是 （填上所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）证明…. ▲ 17.（本小题满分12分）如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；（2）设,求面积的最大值及此时的值. ▲ 18.（本小题满分12分）城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：组别候车时间人数一 2二6三4四2五1（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率． ▲ 19．（本题满分12分）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接，设中点为．（I）证明：平面平面；（II）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．（III）求直线与平面所成角的正弦值． ▲ 20．（本小题满分13分）椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆经过点．（I）求椭圆的方程；（II）过点作直线交椭圆于两点（直线不与轴重合），为椭圆的左顶点，试证明：． ▲ 21．（本小题满分14分）已知函数 的图像过坐标原点，且在点 处的切线斜率为.(1) 求实数的值；(2) 求函数在区间上的最小值；(3) 若函数的图像上存在两点，使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围. ▲ 2015届高三3月阶段性考试数学试题参考答案（文）一、1—5 B C D D A 6—10 B A C D D二、11. 7 12. 60 13. 14. 15. 前四个结合定义及函数解析式或图象特征易判断之；对于，令，则，已知式化为了，显然也符合定义三、解答题16.解析：（1）设等差数列的公差为d，由得即d=1； …………3分所以即． …………6分 （2）证明： 　　　　　　　………8分 …… …12分17.解析:(1)在中，,,由 ??????????????5分 （2）平行于 在中，由正弦定理得，即 ， 又,. ??????????????8分 记的面积为，则=， ?????????????10分 当时，取得最大值. ??????????????12分18.解:（1）候车时间少于10分钟的概率为， ………………4分所以候车时间少于10分钟的人数为人． ………………………6分（2）将第三组乘客编号为，第四组乘客编号为．从6人中任选两人有包 含以下基本事件：，，，，， 共15个基本事件 ………………10分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为． …………12分19．解：（I）直二面角的平面角为，又，则平面，所以．又在平面四边形中，由已知数据易得，而，故平面，因为平面，所以平面平面……（4分）（II）解法一：由（I）的分析易知，，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示．结合已知数据可得，，，，则中点，平面，故可设，则平面，又，由此解得，即易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点…………..（8分）解法二：（略解）如右图所示，在中作，交于，因为平面平面，则有平面．在中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得，故知所求点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点．……..（8分）（III）解法一：由（II）是平面的一个法向量，又，则得，所以，记直线与平面所成角为，则知，故所求角的正弦值为 ……..（12分）解法二：（略解）如上图中，因为，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，由此，在中作于，易证平面，连接，则为直线与平面所成角，结合题目数据可求得，故所求角的正弦值为 ……..（12分）20．解：（I）法一：由题意，设椭圆方程为，由已知则有，，联立解得，法二：由结合距离公式直接求出，结合，求出法三：利用通径长公式可得，再结合，求出和故所求椭圆方程为……………………..（4分）（II）设直线的方程为：由得：，因为点在椭圆内部，直线必与椭圆相交于两点，即恒成立设，则， ………..（8分）法一：则将代入上式整理可得，则的大小必为定值…………………..（12分）法二：设弦的中点，则，所以而由弦长公式得由此则有，即则知点在以线段为直径的圆上，故，命题得证21．解：（1）当时，， 依题意， 又 故 ...............3分 （2）当时， 令有，故在单调递减；在单调递增； 在单调递减．又, 所以当时， ……………………6分（3）设，因为中点在轴上，所以 又 ①（?）当时，，当时，．故①不成立……7分 （）当时，代人①得： ， 无解 ………8分 （?）当时，代人①得： 设，则是增函数. 的值域是．………………………………………10分 所以对于任意给定的正实数，恒有解，故满足条件． （?）由横坐标的对称性同理可得，当时， ，代人①得： 设，令，则由上面知 的值域是的值域为. 所以对于任意给定的正实数，恒有解，故满足条件。………………12分 综上所述，满足条件的点的横坐标的取值范围为..........14分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 1 每天发布最有价值的高考资源 1ABCSNM第13题俯视图（第11题）结束是否开始第12题四川省成都市树德中学2015届高三3月阶段性考试数学（文）试题.
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