东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷
高三 数学（理科）
命题校：125中 2012年12月
本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．
1. 若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）
A． 　 B． 　 C． 　 D．
2. 复数 在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3. 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 ） ，
则该棱锥的体积是（ ）
A． B．
C． D． 正视图 侧视图

5．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 为等比数列， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7． 已知函数 在 上是增函数， ，若 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在双曲线右支上存
在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双
曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知 ，且 为第二象限角，则 的值为 .
10．已知向量 ．若 为实数， ∥ ，则
的值为 .
11．椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，
的小大为 .
12．若曲线 的某一切线与直线 平行，则切点坐标
为 ，切线方 程为 .
13. 若 ，则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的
是 . (写出所有正确命题的编号)．
① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤
14. 已知函数 在区间 内任取两个实数 ，且 ，
不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出字说明、证明过程
或演算步骤．
15．（本小题满分 分）
已知：在 中, 、 、 分别为角 、 、 所对的边，且角 为锐角，

（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）当 ， 时，求 及 的长．

16．（本小题满分 分）
已知：函数 的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求 函 数 的 解 析 式；
（Ⅱ）在△ 中，角 的 对 边 分 别
是 ，若
的 取 值 范 围．

17．（本小题满分 分）
已知：如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， ，且 ， 为 中点．
（Ⅰ）证明： // 平面 ；
（Ⅱ）证明：平面 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的正弦值．
18．（本小题满分13分）
已知：数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（Ⅰ）求： ， 的值；
（Ⅱ）求：数列 的通项公式；
（Ⅲ）若数列 的前 项和为 ，且满足 ，求数列 的
前 项和 .
19．（本小题满分14分）
已知：函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 是 的极值点，求 的值；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）若 在 上的最大值是 ，求 的取值范围.
20．（本小题满分 分）
已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦
点构成的三角形的面积为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点. ①若线段 中点的
横坐标为 ，求斜率 的值；②若点 ，求证： 为定值.

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考答案
高三数学（理科）
参考答案
（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）
一.选择题
1. A 2. D 3. B 4. A 5. C 6. D 7. B 8. D
二.题
9． 10． 11．
12．（1，2）， 13．①③⑤ 14．

15．（本小题满分 分）
解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C= ，及
所以sinC= . ………………………… 4分
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理 ，得c=4 ………7分
由cos2C=2cos2C-1= ，及 得
cosC= ………………………9分
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得
b2－ b-12=0 …………………… 12分
解得 b=2 ……………………13分

16．（本小题满分 分）
解：（Ⅰ）由图像知 ， 的最小正周期 ，故 …… 2分
将点 代入 的解析式得 ，又
故 所以 ……………… 5分
（Ⅱ）由 得
所以 ……………………8分
因为 所以 ………………9分
……………………11分
……………………13分

17．（本小题满分 分）
解： （Ⅰ）

证明：连结BD交AC于点O，连结EO． ……………………1分
O为BD中点，E为PD中点，
∴EO//PB． ………… …………2分
EO 平面AEC，PB 平面AEC， ……………………3分
∴ PB//平面AEC．
（Ⅱ）
证明：
PA⊥平面ABCD．
平面ABCD，
∴ ． ……………………4分
又 在正方形ABCD中 且 ， ……………………5分
∴CD 平面PAD． ……………………6分
又 平面PCD，
∴平面 平面 ． ……………………7分
（Ⅲ）如图，以A为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空
间直角坐标系． ………8分

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D( 0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ． ……………9分
PA 平面ABCD，∴ 是平面ABCD的法向量， =（0, 0, 2）．
设平面AEC的法向量为 , ,
则 即
∴
∴令 ,则 . ………………11分
∴ , …………………12分
二面角 的正弦值为 …………………13分

18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
令 ，解得 ；令 ，解得 ……………2分
（Ⅱ）
所以 ，（ ）
两式相减得 ……………4分
所以 ，（ ） ……………5分
又因为
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 ……………6分
所以 ，即通项公式 （ ） ……………7分
（Ⅲ） ，所以
所以
……9分
令 ①
②
①－②得

……………11分
……………12分
所以 ……13分

19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解： . 依题意，令 ，解得 .
经检验， 时，符合题意. ……4分
（Ⅱ）解：① 当 时， .
故 的单调增区间是 ；单调减区间是 . …………………5分
② 当 时，令 ，得 ，或 .
当 时， 与 的情况如下：


? ? ?
所以， 的单调增区间是 ；单调减区间是 和 .
当 时， 的单调减区间是 .
当 时， ， 与 的情况如下：


? ? ?
所以， 的单调增区间是 ；单调减区间是 和 .
③ 当 时， 的单调增区间是 ；单调减区间是 .
综上，当 时， 的增区间是 ，减区间是 ；
当 时， 的增区间是 ，减区间是 和 ；
当 时， 的减区间是 ；
当 时， 的增区间是 ；减区间是 和 .
……11分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 时， 在 上单调递增，由 ，知不合题意.

当 时， 在 的最大值是 ，
由 ，知不合题意.
当 时， 在 单调递减，
可得 在 上的最大值是 ，符合题意.
所以， 在 上的最大值是 时， 的取值范围是 . …………14分

20．（本题满分 分）
解：（Ⅰ）因为 满足 ， ，…………2分
。解得 ，则椭圆方程为 ……………4分
（Ⅱ）（1）将 代入 中得
……………………………………………………6分

………………………………………… …………………7分
因为 中点的横坐标为 ，所以 ，解得 …………9分
（2）由（1）知 ，
所以 ……………11分

………………………………………12分

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