吉林市普通中学2015—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟1．答前，考生将自己的、填写使用0.5毫米的黑色请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，，，则A．0或3B．0或C．1或D．1或32．为虚数单位，若复数 A．B．C．D．3．在定义域内既是奇函数又为增函数的是A. B. C.D.4．为两个平面，为直线．是∥的 A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线离心率A．B．3C．D．．二项式的展开式中，项的系数为A． B．C．D．7．已知，则A．B．C．D．8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是A．－3B．－ C． D． 29．已知随机变量服从正态分布，，则A．0.954B．0.977C．0.488 D．0.477．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的为A．B．C．D． 11．若函数在点处的切线平行于函数在点处的切线，直线的斜率A．1B．C． D．12．在中，分别为内角所对的边，，且满足．若点是外一点，,，平面四边形面积的最大值是A．B．C．3 D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题每小题5分。13．已知实数满足，则目标函数的最大值为14．，则　　　　　.15．已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，在抛物线上，且＝则＋的最小值是16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为三、解答题：本大题共6小题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（本小题满分12分）已知数列首项为，．设 ，数列满足．求证：数列成等差数列；求数列的前项和．18．（本小题满分12分） “开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-号扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还继续挑战后面的门以获得更多奖金．但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：~30；~40（单位：岁），其猜对歌曲名称人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元） （Ⅰ）写出列联表；判断是否有9%的把握认为猜对与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828，正确回 答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互 不影响．设该选手所获梦想基金总数为，求的分布列及数学期望． 其中）19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面．求证：；求二面角的平面角的弦值．20．（本小题满分12分）的右焦点为，离心率，是椭圆上的动点．；若与的斜率乘积，动点满足, 为常数。问是否存在两个定点,，使得为定值？若存在，求,的坐标，若不存在，说明理由．（本小题满分12分）函数，.（为常数，为自然对数的底）当时，求的单调区间；若函数在上无零点，求的最小值；（）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围． 如图，是⊙的一条切线，切点为，都是⊙的割线，已知. 证明：；（Ⅱ）证明：.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径 ．（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围．已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．2015—2015学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（理科）答案及评分标准1．选择题123456789101112ADCDCACBACCA2．填空题13. 【答案】5 14. 【答案】 15. 【答案】 16. 【答案】解：由已知可得，，……………2分 ……………3分 ……………4分为等差数列，其中. ……………分 ……………6分 ① ……………7分 ② …………8分 ① - ② 得 …………9分 ……………10分 ……………11分∴ ……………12分：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，错误合计）10304030~40（岁）107080合计200120……………2分 根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵……………3分∴有9%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．……………4分 的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000则 ……………5分 ……………6分 ……………7分 ……………8分 ……………9分的分布列为010003000600011000……………10分数学期望 ……………12分 19. 解：（Ⅰ）连接交于∵∥平面，面，面面……………2分∴∥又为的中点，∴为中点∴为中点……………3分∴∴；……………分 ∵在直三棱柱中 ∴ ……………5分以为坐标原点，以, 所在建立空间直角坐标系如图所示。由（Ⅰ）知为中点∴点坐标分别为，， ……………6分 的法向量∵且∴取∴ ……………8分的法向量 ……………10分 平面角为则， ……………11分∴ ……………12分 （I）∴ ……………2分，∴，……………3分∴椭圆标准方程为（分）（II）设P(x，y)，(x1，y1)，(x2，y2)，则由得(x，y)＝(x1，y1)＋ (x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)， ……………5分即x＝x1＋x2，y＝y1＋y2. （分）因为点A、B在椭圆x2＋2y2＝2上，所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，（分）故x2＋2y2＝(x＋x＋2x1x2)＋2(y＋y＋2y1y2)＝(x＋2y)＋ (x＋2y)＋2 (x1x2＋2y1y2)＝2＋2+2 (x1x2＋2y1y2)．（分）设kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率，由题设条件知kOA?kOB＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，(9分)所以x2＋2y2＝2＋2. 即(10分)所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义PF1＋PF2为定值．(11分)又因c＝因此两焦点的坐标为F1(－，0)，F2(，0)．F1(－，0)，F2(，0)．PF1＋PF2（分）当时则.令得；令得故的单调递减区间为，单调递增区间为 ……………2分 （）∵在区间上不可能恒成立，故要使函数在上无零点，恒成立。即对，恒成立。……3分（）则 …4分，则，∵，∴故函数在区间上单调递减，∴ 即，∴函数在区间上单调递增，∴ …5分函数在上无零点 …6分（）∵，当，，∴函数在区间上是增函数。∴…7分当时，，不符题意当时，当时，，由题意有在上不单调，故∴①…8分当变化时，变化情况如下：0+单调递减最小值单调递增又因为时，…9分所以，对于给定的，在在上总存在两个不同的，使得成立，当且仅当满足下列条件即②③…10分令，令，则故时，，函数单调递增时，，函数单调递减所以对任意的，…11分由③得④，由①④当时，在上总存在两个不同的，使得成立……………12分 证明：∵是⊙O的一条切线，为割线， …分∴，…3分又∵，…4分∴；…（分）（Ⅱ）由有，…6分∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE， …7分∴∠ADC=∠ACE， …8分∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE， …9分∴GF∥AC。…（分） 【答案】① ;②解：（Ⅰ）设圆上任意一点坐标，由余弦定理得：…3分整理得：…（分）（Ⅱ）∵，∴…6分将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得：…7分整理得：…8分∴∴ …9分∵，∴，∴ …（分） 解：（Ⅰ）因为等价于，…分由有解，得，且其解集为．…4分又的解集为，故．…（分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，…分∴≥=9． …分∴…．（1分）版权所有：学优(www..cn)版权所有：学优(www..cn)zPDCABxyEO_AGFDCBPDCAB错误正确吉林省吉林市2015届高三下学期第二次模拟考试 数学理
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