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北京市西城区2015—2015学年度高三第一学期期末数学(理)试题(WOR

编辑: 路逍遥 关键词: 高三 来源: 记忆方法网
试卷说明:

北京市西城区2015 — 2014学年度第一学期期末试卷 高三数学(理科) 2014.1第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,,则集合( )(A)(B)(C)(D)2.已知复数z满足,那么的虚部为( )(A)(B)(C)(D)3.在△ABC中,,,,( )(A)(B)(C)(D)4.执行如图所示的程序框(B)(C)(D)5.已知圆与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧的中点为M,则过点M的圆C的切线方程是( )(A)(B)(C)(D)6. 若曲线为焦点在轴上的椭圆,则实数,满足( )(A)(B)(C)(D)7.定义域为R的函数满足,且当时,,则当时,的最小值为( ) (A) (B) (C) (D) 8. 如图,正方体的棱长为,动点P在对角线上,过点P作垂直于的平面,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y,设x,则当时,函数的值域为( )(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在平面中,点,,若向量,则实数 _____.10.满足,,则______;______.11.______.12.甲、乙两从中各选,则所选的中恰有1相同的选法______. (用数字作答)13.为圆上的两个点,为延长线上一点,为圆的切线,为切点. 若,,则______;______.14.平面中,记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下,区域内的点对应的象为点. (1)在映射的作用下,点的原象是 ;(2)由点所形成的平面区域的面积为______.15.13分)已知函数,,且的最小正周期为.(Ⅰ)若,,求的值;(Ⅱ)求函数的单调增区间.16.13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组名同学乙组记录中有一个数模糊,无法确认,表示. ()求的值时,分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学,记这两名同学数学成绩之差的绝对值为,求随机变量的分布列和数学期望17.14分)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3, H是CF的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDEF;(Ⅱ)求直线DH与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角的大小.18.13分)已知函数,其中.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)时,试确定函数的零点个数,并说明理由.19.14分)已知是抛物线的坐标为,直线的斜率为k, 为坐标原点.(Ⅰ)若抛物线的下方,求k的取值范围;(Ⅱ)设C为W上一点,且,过两点分别作W的切线,记两切线的交点为,求的最小值.20.13分)设无穷的公比为q,且,表示不超过实数的最大整数(如),记,数列的前项和为,数列的前项和为.(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)若对于任意不超过的正整数n,都有,证明:.()()的充分必要条件为.北京市西城区2015 — 2014学年度第一学期期末高三数学(理科)参考答案及评分标准 2014.1一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.......... 11. .. 14.注:第10、12分,第二问3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.13分) (Ⅰ)解:因为的最小正周期为, 所以 ,解得. ……………… 3分 由 ,得, 即 , ……………… 4分 所以 ,. 因为 , 所以. ……………… 6分(Ⅱ)解:函数 ……………… 8分, ………………10分由 , ………………11分解得 . ………………12分所以函数的单调增区间为.…………13分16.13分)(Ⅰ)解:, ……………… 2分解得 分:, ……………… 4分,共有10种可能. ……………… 5分时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,所以当时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有8种可能.… 6分. ……………… 7分时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结果有种,,,,,,,,, ……………… 9分的所有取值为. ……………… 10分,,,,.……………… 11分的分布列为:01234………………12分的数学期望17.14分)(Ⅰ)证明:因为四边形是菱形,所以 . ……………… 1分因为平面平面,且四边形是矩形, 所以 平面, ……………… 2分又因为 平面,所以 . ……………… 3分因为 ,所以 平面. ……………… 4分(Ⅱ)解:设,取的中点,连接,因为四边形是矩形,分别为的中点,所以 ,又因为 平面,所以 平面,由,得两两垂直.所以以为原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面是边长为2的菱形,,,所以 ,,,,,. ………………6分因为 平面, 所以平面的法向量. …………7分设直线与平面所成角为,由 , 得 ,所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………9分(Ⅲ)解:由(Ⅱ),得,.设平面的法向量为,所以 ………………10分即 令,得. ………………11分由平面,得平面的法向量为,则. ………………13分由图可知二面角为锐角,所以二面角的大小为. ………………14分18.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:因为,,所以.,得.变化时,和的变化情况如下:??……………… 5分故的单调减区间为;单调增区间为.有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下:由,得方程, 显然为此方程的一个实数解. 所以是函数的一个零点. ……………… 9分当时,方程可化简为. 设函数,则,令,得.变化时,和的变化情况如下:??即的单调增区间为;单调减区间为.的最小值. ………………11分因为 , 所以,所以对于任意,,因此方程无实数解.时,函数不存在零点.综上,函数有且仅有一个零点. ………………13分19.14分)(Ⅰ)解:抛物线. ……………… 1分由题意,得直线的方程为, ……………… 2分令 ,得,即直线与y轴相交于点. ……………… 3分因为抛物线的下方,所以 ,解得 . ……………… 5分(Ⅱ)解:由题意,设,,,联立方程 消去,得, 由韦达定理,得,所以 . ……………… 7分同理,得的方程为,. ……………… 8分对函数求导,得,所以抛物线在点处的切线斜率为,所以切线的方程为, 即. ……………… 9分同理,抛物线在点处的切线的方程为.………………10分联立两条切线的方程解得,,所以点的坐标为. ………………11分因此点在定直线上. ………………12分因为点到直线的距离,所以,当且仅当点时等号成立. ………………13分由,得,验证知符合题意.所以当时,有最小值. ………………14分20.13分)(Ⅰ)解:由等比数列的,,得,,,且当时,. ……………… 1分 所以,,,且当时,. ……………… 2分 即 ……………… 3分(Ⅱ)证明:因为 ,所以 ,. ……………… 4分因为 ,所以 ,. ……………… 5分 由 ,得 . ……………… 6分因为 , 所以 , 所以 ,即 . ……………… 8分(),, 所以 , 所以 对一切正整数n都成立. 因为 ,,所以 . ……………… 9分(必要性)因为对于任意的,,当时,由,得;当时,由,,得.所以对一切正整数n都有. 由 ,,得对一切正整数n都有, ………………10分所以公比为正有理数. ………………11分假设 ,令,其中,且与的最大公约数为1. 因为是一个有限整数,所以必然存在一个整数,使得能被整除,而不能被整除.又因为,且与的最大公约数为1. 所以,这与()矛盾.所以.因此,. ……………13分 第 2 页 共 14 页PD1 C1D CDHAECBFHDCOP.FA 是否结束输出Si=i+1i=1,S=0开始228a1098乙组甲组 A1 B1A BBA2BEC侧(左)视图OzNxy北京市西城区2015—2015学年度高三第一学期期末数学(理)试题(WORD精校版)
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